VMO – Number theory


Trong tài liệu này tôi sẽ tổng hợp các bài toán Số học trong kì thi chọn HSG Quốc gia (VMO).

Việc chia theo môn ở đây chỉ là tương đối, có những bài toán thuộc nhiều môn khác nhau.

Continue reading “VMO – Number theory”

Tính rời rạc của tập số nguyên (1)


Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^3+y^3=(x+y)^2.

Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)=w^2.

Bài 4. Cho số nguyên dương n và bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

n^2<a<b<c<d<(n+1)^2. Chứng minh rằng ad\not=bc.

Bài 5. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng \left|\sqrt2-\dfrac mn\right|>\dfrac{1}{4n^2}\,\,\forall m\in\mathbb{Z}. Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (1)”

Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh


Đây là đề dành cho học sinh THPT.

Đề Số học giới thiệu một chứng minh sơ cấp của một trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet. Continue reading “Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh”

Bài số 5 trong CMO 2010


Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho P,Q là các đa thức với hệ số nguyên và (a_n) là dãy xác định bởi a_n=n!+n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng nếu P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1 thì P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z} với mỗi số nguyên n không là nghiệm của Q.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.