Biến đổi các biểu thức hữu tỷ


Bài 1. Cho a\not =\pm 1. Thực hiện phép tính
\displaystyle P=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}.
Bài 2. Cho các số a,b,c thỏa mãn abc\not =0\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=3abc.
Bài 3. Cho các số x,y thỏa mãn x\not =\pm y. Thực hiện phép tính
\displaystyle P=\frac{x^2+y^2-2xy}{x^2+y^2+2xy}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-xy}:\frac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^3+y^3}.
Bài 4. Cho các số a,b,c là các số đôi một khác nhau. Rút gọn các biểu thức
1) \displaystyle A=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)};
2) \displaystyle B=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)};
3) \displaystyle C=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)};
4) \displaystyle D=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}.
Bài 5. Cho các số a,b,c,x,yz thỏa mãn abcxyz\not =0
\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0,\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2.
Chứng minh rằng \displaystyle\frac{a}{bcx^2}+\frac{b}{cay^2}+\frac{c}{abz^2}=\frac{4}{abc}. Continue reading “Biến đổi các biểu thức hữu tỷ”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức P(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}.

a)Rút gọn P(x);

b)Giải phương trình P(x)=\dfrac{4}{x-5}.

Bài 2.

Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b)Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 3.

Hai xe máy đi từ A đến B. Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai nửa giờ với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe thứ hai 5km một giờ. Biết rằng hai xe đến B cùng một lúc và quãng đường AB dài 140km. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R, lấy điểm C trên đoạn AO sao cho C khác A,O. Kẻ hai tia AxBy vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn nhưng khác AB. Một đường thẳng vuông góc với CM tại M cắt AxP, cắt ByQ; AM cắt CPEBM cắt CQF.

a)Chứng minh bốn điểm M,E,C,F nằm trên một đường tròn;

b)Chứng minh EF||AB;

c)Khi C là trung điểm của AO, tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để APQB có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị này.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Tính giá trị của biểu thức A=\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}:\left(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\right);

b)Chứng minh rằng với x>0x\not = 1, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc biến \dfrac{(1-x)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).

Bài 2.

a)Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3)=3;

b)Giải hệ phương trình

\begin{cases}x+y=2(x-2)(y+1)+1\\ -3x+2y=(x-2)(y+1)-8.\end{cases}

Bài 3.

a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau không đồng quy

y=3x+7(d_1);y=-2x-3(d_2);y=2x-7(d_3);

b)Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng (m+1)x-y-m-3=0 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm này.

Bài 4.

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Lấy điểm M trên d, kẻ hai tiếp tuyến MAMB tới đường tròn, OM cắt AB tại H.

a)Chứng minh rằng OH\cdot OM=R^2;

b)Gọi góc AMB bằng \alpha, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AMB theo R\alpha;

c)Chứng minh rằng khi M chạy trên d thì H chạy trên một đường tròn cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng với mỗi m ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm

x^2+(m-1)x+2m^2=0x^2+4mx-m+2=0.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2000-2001


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. Cho biểu thức

A=\dfrac{y^2-3y\sqrt{x}+2x}{y\sqrt{x}-x}.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=7-4\sqrt{3}y=\sqrt{20-8\sqrt{6}}+\sqrt{11-4\sqrt{6}}.

Bài 2. a)Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 60 km, cả đi và về mất 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 5 km/h.

b)Cho phương trình bậc hai x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0,

ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 3. Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4.\end{cases}

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính BC, A là một điểm trên đường tròn khác B,C. Qua A,C kẻ các tiếp tuyến với (O), hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Hạ AH vuông góc với BC. Đường thẳng BM cắt AH tại N và cắt (O) tại điểm thứ hai K\not =B.

a)Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc HAM;

b)Chứng minh rằng AB^2=BN\cdot BK;

c)Đường thẳng qua O và song song với BM cắt AC tại T. Chứng minh rằng bốn điểm O,T,K,A cùng nằm trên một đường tròn.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=1+2\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{32};

b)B=(\sqrt{x}+1)\cdot (\sqrt{x}-1)+1 với x\geq 0.

Bài 2.

Cho phương trình x^2+2mx-m^2=0.

a)Giải phương trình với m=1;

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Năm trước. hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 750 tấn thóc. Năm sau đơn vị thứ nhất làm vượt mức 14/100 và đơn vị thứ hai làm vượt mức 10/100 so với năm trước nên cả hai đơn vị thu hoạch được 845 tấn thóc. Hỏi năm trước mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài 4.

Cho (O;R) và một dây AB cố định (AB<2R). Trên cung lớn AB lấy hai điểm C,D sao cho AD||BC.

a)Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,D, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AODI là tứ giác nội tiếp;

b)Gọi M là giao điểm của ACBD. Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định khi C,D di chuyển trên cung lớn AB sao cho AD||BC;

c)Cho biết AB=R\sqrt{2}BC=R. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R.

Bài 5.

Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập biến đổi Đại số


1. Cho các số thực x,y thoả mãn xy\not =\sqrt[3]{2}xy\not=-\sqrt[3]{2}. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc x,y

P=\left(\dfrac{2\sqrt[3]{2}xy}{x^2y^2-\sqrt[3]{4}}+\dfrac{xy-\sqrt[3]{2}}{2xy+2\sqrt[3]{2}}\right)\cdot\dfrac{2xy}{xy+\sqrt[3]{2}}-\dfrac{xy}{xy-\sqrt[3]{2}}

2. Cho x=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+2)\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}-2}. Tính giá trị của biểu thức P=(x^2+x+1)^{2009}.

3. Cho biểu thức A=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.

a)Rút gọn A;

b)Tìm x\in\mathbb{Z} để A\in\mathbb{Z}.

4. a)Thu gọn biểu thức A=\dfrac{\sqrt{45+27\sqrt{2}}+\sqrt{45-27\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}-\sqrt{3-\sqrt{2}}};

b)Cho x,y,z là các số dương thoả mãn xyz=2. Tính giá trị của biểu thức

B=\dfrac{x}{xy+x+2}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{2z}{zx+2z+2}.

5. Cho biểu thức P=\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\left(\dfrac{a+b}{a-b}-\dfrac{b}{b-\sqrt{ab}}+\dfrac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\dfrac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{2}, với a>0,b>0a\not =b.

a)Rút gọn P;

b)Tìm a,b để b=(a+1)^2P=-1.

6. Rút gọn biểu thức P=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{10}+\sqrt{27}+\sqrt{36}+\sqrt{45}}.

7. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\dfrac{a+\sqrt{a}}{a-1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm a để \dfrac{1}{P}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{8}\geq 1.

8. Cho biểu thức P=\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P=\dfrac{9}{2}.

9. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^2.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để \dfrac{P}{\sqrt{x}}>2.

10. Cho biểu thức P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P;

c)Tìm x để \dfrac{2\sqrt{x}}{P} là số nguyên.

11. Cho biểu thức P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=\dfrac{2}{P}+\sqrt{x}.

12. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để \dfrac{1}{P}\leq-\dfrac{5}{2}.

13. Tìm các số thực x,y để biểu thức A=-x^2-y^2+xy+2x+2y đạt giá trị lớn nhất.

14. Cho biểu thức P=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}.

a)Rút gọn P;

b)So sánh P với 5;

c)Với mọi x làm P có nghĩa, chứng minh rằng \dfrac{8}{P} chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

15. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x\in\mathbb{Z} để P<0;

c)Tìm x để \dfrac{1}{P} đạt giá trị nhỏ nhất.

16. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Cho \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=6, tìm giá trị lớn nhất của P.

17.  Cho biểu thức P=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-3)}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P<\dfrac{15}{4}.

18. Cho biểu thức P=\dfrac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+2}-1.

a)Rút gọn P

b)Tìm a để |P|=1;

c)Tìm các giá trị a\in\mathbb{N} để P\in\mathbb{N}.

19. Cho biểu thức P=\dfrac{1}{2(1+\sqrt{a})}+\dfrac{1}{2(1-\sqrt{a})}-\dfrac{a^2+2}{1-a^3}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị bé nhất của P.

20. Cho biểu thức P=\dfrac{x^2+3x}{x^2-8x+16}:\left(\dfrac{x+4}{x}+\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{19-x^2}{4x-x^2}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P>1;

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của \sqrt{P}.

21. Cho biểu thức P=\dfrac{3x+5\sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-1.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để |P|=2;

c)Tìm x để P\in\mathbb{Z}.

22. Cho biểu thức P=\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{2x-\sqrt{x}-1}\cdot\left(\dfrac{2x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-\sqrt{x}}{x-1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P khi x=7-4\sqrt{3};

c)Tìm giá trị bé nhất của P.