Biến đổi các biểu thức hữu tỷ


Bài 1. Cho a\not =\pm 1. Thực hiện phép tính
\displaystyle P=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}.
Bài 2. Cho các số a,b,c thỏa mãn abc\not =0\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=3abc.
Bài 3. Cho các số x,y thỏa mãn x\not =\pm y. Thực hiện phép tính
\displaystyle P=\frac{x^2+y^2-2xy}{x^2+y^2+2xy}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-xy}:\frac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^3+y^3}.
Bài 4. Cho các số a,b,c là các số đôi một khác nhau. Rút gọn các biểu thức
1) \displaystyle A=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)};
2) \displaystyle B=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)};
3) \displaystyle C=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)};
4) \displaystyle D=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}.
Bài 5. Cho các số a,b,c,x,yz thỏa mãn abcxyz\not =0
\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0,\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2.
Chứng minh rằng \displaystyle\frac{a}{bcx^2}+\frac{b}{cay^2}+\frac{c}{abz^2}=\frac{4}{abc}. Continue reading “Biến đổi các biểu thức hữu tỷ”

Bài tập biến đổi Đại số


1. Cho các số thực x,y thoả mãn xy\not =\sqrt[3]{2}xy\not=-\sqrt[3]{2}. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc x,y

P=\left(\dfrac{2\sqrt[3]{2}xy}{x^2y^2-\sqrt[3]{4}}+\dfrac{xy-\sqrt[3]{2}}{2xy+2\sqrt[3]{2}}\right)\cdot\dfrac{2xy}{xy+\sqrt[3]{2}}-\dfrac{xy}{xy-\sqrt[3]{2}}

2. Cho x=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+2)\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}-2}. Tính giá trị của biểu thức P=(x^2+x+1)^{2009}.

3. Cho biểu thức A=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.

a)Rút gọn A;

b)Tìm x\in\mathbb{Z} để A\in\mathbb{Z}.

4. a)Thu gọn biểu thức A=\dfrac{\sqrt{45+27\sqrt{2}}+\sqrt{45-27\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}-\sqrt{3-\sqrt{2}}};

b)Cho x,y,z là các số dương thoả mãn xyz=2. Tính giá trị của biểu thức

B=\dfrac{x}{xy+x+2}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{2z}{zx+2z+2}.

5. Cho biểu thức P=\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\left(\dfrac{a+b}{a-b}-\dfrac{b}{b-\sqrt{ab}}+\dfrac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\dfrac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{2}, với a>0,b>0a\not =b.

a)Rút gọn P;

b)Tìm a,b để b=(a+1)^2P=-1.

6. Rút gọn biểu thức P=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{10}+\sqrt{27}+\sqrt{36}+\sqrt{45}}.

7. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\dfrac{a+\sqrt{a}}{a-1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm a để \dfrac{1}{P}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{8}\geq 1.

8. Cho biểu thức P=\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P=\dfrac{9}{2}.

9. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^2.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để \dfrac{P}{\sqrt{x}}>2.

10. Cho biểu thức P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P;

c)Tìm x để \dfrac{2\sqrt{x}}{P} là số nguyên.

11. Cho biểu thức P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=\dfrac{2}{P}+\sqrt{x}.

12. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để \dfrac{1}{P}\leq-\dfrac{5}{2}.

13. Tìm các số thực x,y để biểu thức A=-x^2-y^2+xy+2x+2y đạt giá trị lớn nhất.

14. Cho biểu thức P=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}.

a)Rút gọn P;

b)So sánh P với 5;

c)Với mọi x làm P có nghĩa, chứng minh rằng \dfrac{8}{P} chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

15. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x\in\mathbb{Z} để P<0;

c)Tìm x để \dfrac{1}{P} đạt giá trị nhỏ nhất.

16. Cho biểu thức P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Cho \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=6, tìm giá trị lớn nhất của P.

17.  Cho biểu thức P=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-3)}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P<\dfrac{15}{4}.

18. Cho biểu thức P=\dfrac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+2}-1.

a)Rút gọn P

b)Tìm a để |P|=1;

c)Tìm các giá trị a\in\mathbb{N} để P\in\mathbb{N}.

19. Cho biểu thức P=\dfrac{1}{2(1+\sqrt{a})}+\dfrac{1}{2(1-\sqrt{a})}-\dfrac{a^2+2}{1-a^3}.

a)Rút gọn P;

b)Tìm giá trị bé nhất của P.

20. Cho biểu thức P=\dfrac{x^2+3x}{x^2-8x+16}:\left(\dfrac{x+4}{x}+\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{19-x^2}{4x-x^2}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P>1;

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của \sqrt{P}.

21. Cho biểu thức P=\dfrac{3x+5\sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-1.

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để |P|=2;

c)Tìm x để P\in\mathbb{Z}.

22. Cho biểu thức P=\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{2x-\sqrt{x}-1}\cdot\left(\dfrac{2x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-\sqrt{x}}{x-1}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P khi x=7-4\sqrt{3};

c)Tìm giá trị bé nhất của P.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán, khối phổ thông chuyên Ngữ, DHQG HN


Đây là vài đề thi tuyển sinh vào 10, môn Toán, chuyên Ngữ.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=2\sqrt{3}+3\sqrt{27}-\sqrt{300};

b)B=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}, với x>0,x\not =1.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+3x-4=0;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}3x-2y=4\\2x+y=5.\end{cases}

Bài 3.

Cho hàm số y=(2m-1)x+m+1 với m là tham số và m\not =\dfrac{1}{2}. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau

a)Đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1,1);

b)Đồ thị cắt trục tung tại A, trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một canô chuyển động xuôi dòng từ A đến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước đứng yên.

Bài 5.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O;R).

a)Chứng minh rằng MAOB nội tiếp;

b)Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM=5cmR=3cm;

c)Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt (O;R) tại C,D(C nằm giữa MD). Gọi E là giao của ABOM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=1+2\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{32};

b)B=(\sqrt{x}+1)\cdot (\sqrt{x}-1)+1 với x\geq 0.

Bài 2.

Cho phương trình x^2+2mx-m^2=0.

a)Giải phương trình với m=1;

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Năm trước. hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 750 tấn thóc. Năm sau đơn vị thứ nhất làm vượt mức 14/100 và đơn vị thứ hai làm vượt mức 10/100 so với năm trước nên cả hai đơn vị thu hoạch được 845 tấn thóc. Hỏi năm trước mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài 4.

Cho (O;R) và một dây AB cố định (AB<2R). Trên cung lớn AB lấy hai điểm C,D sao cho AD||BC.

a)Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,D, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AODI là tứ giác nội tiếp;

b)Gọi M là giao điểm của ACBD. Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định khi C,D di chuyển trên cung lớn AB sao cho AD||BC;

c)Cho biết AB=R\sqrt{2}BC=R. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R.

Bài 5.

Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.