Real roots of a polynomial


Cách đây vài tháng tôi có đưa lên blog này một số bài toán về nghiệm thực của đa thức, cụ thể ở các link sau:

Dưới đây là file pdf tổng hợp các bài trên sau khi nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

Continue reading “Real roots of a polynomial”

Đa thức – Định nghĩa và các phép toán


Định nghĩa
Trong mục này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

Gọi D là một tập con của \mathbb{K}. Một hàm f:D\to\mathbb{C} được gọi là một đa thức trên D nếu có số tự nhiên n và các hằng số a_n,a_{n-1},\cdots,a_0 sao cho
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là D=\mathbb{K}.
Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f, a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f, ta viết \deg f=n và quy ước bậc của đa thức 0 (là đa thức mà f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}) bằng -\infty.
Đa thức f được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số C\in\mathbb{K} thỏa mãn f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}, theo trên ta có nếu C là một hằng số khác 0 thì \deg C=0.
Tập các đa thức với hệ số thuộc \mathbb{K} cùng với đa thức 0 sẽ được ký hiệu là \mathbb{K}[x].
Hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, và viết f=g, nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f=\deg g và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho r\in\mathbb{C}f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]. Giá trị của f tại r là một số phức, kí hiệu bởi f(r), và được cho bởi f(r)=\sum a_ir^i, r được gọi là nghiệm của f nếu f(r)=0. Số r được gọi là nghiệm bội k\,\,(k\in\mathbb{N}^*) của f nếu f(x)=(x-r)^kg(x), ở đây g là một đa thức không nhận r làm nghiệm. Nếu f là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của f nhiều nhất bằng \deg f tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ \deg f nghiệm), chỉ có đa thức 0 là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
1/. 3x^4-3x^2+1
2/. 6x^2
3/. (2x^3-1)(x+2).
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc 12.
2/. Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc 0.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng \sin x không phải là một đa thức với hệ số thực trên \mathbb{R}.

Continue reading “Đa thức – Định nghĩa và các phép toán”