Dãy các phương trình


Bài 1. Xét phương trình x^{2n+1}=x+1, ở đây n>0 là số nguyên.
1/. Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình trên có duy nhất một nghiệm thực;
Kí hiệu nó là x_n.
2/. Tính \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n.
Bài 2. Xét phương trình
\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{4x-1}+\cdots+\dfrac{1}{n^2x-1}=\dfrac{1}{2},
Trong đó n là số nguyên dương.
1/. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Kí hiệu nghiệm đó là x_n.
2/. Chứng minh rằng \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=4. Continue reading “Dãy các phương trình”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2013 – 2014)


Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số y=x^3-3x+4 có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm M,N\in (C) sao cho I(-1/2;2) là trung điểm của MN;
b) Cho ba điểm phân biệt A,B,C\in (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C cắt (C) tại điểm thứ hai A',B',C' tương ứng. Chứng minh rằng nếu A,B,C thẳng hàng thì A',B',C' cũng thế. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2013 – 2014)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2011 – 2012)


Bài 1. (5 điểm)
1) Giải phương trình x^4+\sqrt{1-x^2}=1;
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^2+y^2=2xy+1\\ x^5+y^3+1=0.\end{cases}
Bài 2. (4 điểm) Cho P=x^2y+y^2z+z^2x với x,y,z >0. Chứng minh rằng
1) P\geq 3 khi xyz=1.
2) P< \dfrac{4}{27} khi x+y+z=1. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2011 – 2012)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)


Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số y=x^4-2mx^2+2m-3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình \sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9};
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh rằng \dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

Một số bài tập phương trình và bất phương trình có thể giải bằng phương pháp hàm số


Em nào nghỉ học lấy về để làm nhé!

Continue reading “Một số bài tập phương trình và bất phương trình có thể giải bằng phương pháp hàm số”

Phương trình và bất phương trình chứa căn-Phương pháp biến đổi tương đương


Chỉ bình phương hai vế khi chắc chắn hai vế không âm

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

a)x-\sqrt{2x+3}=0;

b)\sqrt{x-1}<x-2;

c)\sqrt{3x+1}\geq 4x-2.

Bài 2. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x};

b)\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-3}.

Bài 3. Giải các bất phương trình

a)\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2-4x+3}\geq 2\sqrt{x^2-5x+4};

b)\sqrt{x^2-8x+15}+\sqrt{x^2+2x-15}\leq\sqrt{4x^2-18x+18}.

Bài 4. Giải các bất phương trình

a)(x-3)\sqrt{x^2-4}\leq x^2-9;

b)\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}>\dfrac{1}{2x-1}.

Bài 5. Giải các phương trình

a)\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=\sqrt{5};

b)\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x.

Bài 6. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2};

b)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2};

c)x^2+\sqrt{x+1}=1.

Bài 7. Giải phương trình

\dfrac{x^2+7x+4}{x+2}=4\sqrt{x}.

Bài 8. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\dfrac{x+3}{5};

b)2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}>x-2;

c)3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}.

Bài 9. Giải bất phương trình

\sqrt{x^4-2x^2+1}>1-x.

Bài 10. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\geq 2;

Đáp số: x<0 hoặc 1\leq x\leq 2.

b)\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\leq 3\sqrt{x};

Đáp số: x\geq 1/4.

c)\dfrac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x})^2}<x+21;

Đáp số: -9/2\leq x<0,0<x<7/2.

d)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}>\dfrac{3}{2};

Đáp số: x\geq 1.

e)\sqrt{x^2+3x+2}+\sqrt{x^2+6x+5}\leq\sqrt{2x^2+9x+7};

Đáp số: x=-1,-2,-5.

f)\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5;

Đáp số: x\leq 1, 2\leq x\leq\dfrac{17+\sqrt{13}}{6}.

g)\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2;

Đáp số: x=\pm 1.

h)\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3;

Đáp số: -1/2\leq x\leq 1/2x\not =0;

i)\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2};

Đáp số: x=3.