Luyện tập về phương trình bậc hai (2)


Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/03/07/topic-868/

Bài 16. Cho phương trình x^2-2mx+m^2-m+1=0.

a/. Giải phương trình với m=1;

b/. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2;

c/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để A=x_1x_2-x_1-x_2 đạt giá trị bé nhất;

d/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để x_1+3x_2=4.

Bài 17. Cho phương trình x^2-2mx-1=0.

a/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

b/. Tìm m để hai nghiệm x_1,x_2 của phương trình thỏa mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7.

Bài 18. Cho phương trình x^2+2mx+m-1=0.

a/. Giải phương trình khi m=2;

b/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

c/. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Continue reading “Luyện tập về phương trình bậc hai (2)”

Luyện tập về phương trình bậc hai (1)


Các học sinh có thể ôn lại các dạng bài về phương trình bậc hai tại https://nttuan.org/2010/05/01/topic-49/

Bài 1. Tìm m\in\mathbb{Z} để x^4+2mx^2+18=0 có bốn nghiệm phân biệt x_1,x_2,x_3,x_4 sao cho \dfrac{x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4}{2} là bình phương của một số nguyên dương.

Bài 2. Cho phương trình x^2-2(m+1)x+2m-2=0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mỗi m;

b) Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tính theo m giá trị của

x_1^2+2(m+1)x_2+2m-2.

Bài 3. Cho phương trình mx^3-(m^2+1)x^2-m^2x+m+1=0\quad (1).

a) Chứng minh x=-1 là một nghiệm của (1);

b) Tìm m để (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài 4. Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 5. Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 6. Tìm các giá trị k để hai phương trình x^2+kx+1=0x^2+x+k=0 có nghiệm chung.

Bài 7. Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức \dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 8. Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Bài 9. Chứng minh rằng với mỗi m\in\mathbb{R} ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm

x^2+(m-1)x+2m^2=0,\quad\quad\quad x^2+4mx-m+2=0.

Bài 10. Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0\quad (1).

a) Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b) Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 11. Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 12. Cho phương trình x^2-2(a-1)x+2a-5=0\quad (1).

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mỗi a;

b) Với giá trị nào của a thì (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1<1<x_2;

c) Tìm a để (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=6.

Bài 13. Cho phương trình bậc hai

x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0, ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 14. Cho phương trình x^2-2x-3m^2=0, với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x_1, x_2 khác 0 và thỏa điều kiện

\displaystyle \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{8}{3}.

Bài 15. Tìm m để x^2-4x-2m|x-2|-m+6=0 vô nghiệm.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2000-2001


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. Cho biểu thức

A=\dfrac{y^2-3y\sqrt{x}+2x}{y\sqrt{x}-x}.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=7-4\sqrt{3}y=\sqrt{20-8\sqrt{6}}+\sqrt{11-4\sqrt{6}}.

Bài 2. a)Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 60 km, cả đi và về mất 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 5 km/h.

b)Cho phương trình bậc hai x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0,

ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 3. Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4.\end{cases}

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính BC, A là một điểm trên đường tròn khác B,C. Qua A,C kẻ các tiếp tuyến với (O), hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Hạ AH vuông góc với BC. Đường thẳng BM cắt AH tại N và cắt (O) tại điểm thứ hai K\not =B.

a)Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc HAM;

b)Chứng minh rằng AB^2=BN\cdot BK;

c)Đường thẳng qua O và song song với BM cắt AC tại T. Chứng minh rằng bốn điểm O,T,K,A cùng nằm trên một đường tròn.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=1+2\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{32};

b)B=(\sqrt{x}+1)\cdot (\sqrt{x}-1)+1 với x\geq 0.

Bài 2.

Cho phương trình x^2+2mx-m^2=0.

a)Giải phương trình với m=1;

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Năm trước. hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 750 tấn thóc. Năm sau đơn vị thứ nhất làm vượt mức 14/100 và đơn vị thứ hai làm vượt mức 10/100 so với năm trước nên cả hai đơn vị thu hoạch được 845 tấn thóc. Hỏi năm trước mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài 4.

Cho (O;R) và một dây AB cố định (AB<2R). Trên cung lớn AB lấy hai điểm C,D sao cho AD||BC.

a)Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,D, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AODI là tứ giác nội tiếp;

b)Gọi M là giao điểm của ACBD. Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định khi C,D di chuyển trên cung lớn AB sao cho AD||BC;

c)Cho biết AB=R\sqrt{2}BC=R. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R.

Bài 5.

Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán, khối phổ thông chuyên Ngữ, DHQG HN


Đây là vài đề thi tuyển sinh vào 10, môn Toán, chuyên Ngữ.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.