Điểm và đường thẳng trong Oxy (1)


Bài 1. Cho A(-1;1)B(2;3).

a) Chứng minh rằng O,A,B không thẳng hàng. Viết phương trình các cạnh của \Delta AOB;

b) Viết phương trình đường cao qua A, phân giác trong qua A của \Delta AOB;

c) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của \Delta AOB;

d) Tìm tọa độ A' đối xứng với A qua BO;

e) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BO;

f) Viết phương trình đường thẳng qua A tạo với BO góc $60^{\circ}$.

Bài 2. Cho tam giác ABCM(2;1)  là trung điểm cạnh AC, điểm H(0;-3) là chân đường cao kẻ từ A, điểm E(23;-2) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng d:2x+3y-5=0  và điểm C có hoành độ dương.

Bài 3.  Cho tam giác ABC có đỉnh A(3;3) tâm đường tròn ngoại tiếp I(2;1) phương trình đường phân giác trong góc \widehat{BAC}x-y=0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng BC=8/\sqrt{5} và góc \widehat{BAC} nhọn.

Bài 4.  Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ Bx+3y-18=0, phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC3x+19y-279=0, đỉnh C thuộc đường thẳng d:2x-y+5=0. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng \widehat{BAC}=135^{\circ}.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, N nằm trên cạnh CD sao cho CN=2ND. Biết M=(11/2;1/2) và $AN$ có phương trình 2x-y-3=0. Tìm A.

Bài 6.  Cho tam giác ABC có đường cao AH:3x+4y+10=0, phân giác trong BE:x-y+1=0. Điểm M(0;2)\in AB và cách C một khoảng \sqrt{2}. Tính S_{ABC}.

Bài 7.  Cho hình chữ nhật ABCDS=12, tâm I(9/2;3/2), trung điểm của BCM(3;0)x_B>x_C. Xác định tọa độ các đỉnh của nó.

Bài 8.  \Delta ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(4;-1), đường cao và trung tuyến qua A có phương trình lần lượt là d_1:x+y-1=0,d_2:x+2y-1=0. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của nó.

Bài 9.  Cho hình chữ nhật ABCD trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cạnh AB có phương trình là x-y+3=0. I(0;1) là giao điểm của ACBD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D nếu AB=3AD và điểm A có hoành độ lớn hơn hoành độ của điểm B.

Bài 10.  Cho hình vuông MNPQ. Biết MN,NP,PQ,QM lần lượt đi qua các điểm A(10;3),B(7;-2),C(-3;4),D(4;-7). Lập phương trình MN. Continue reading “Điểm và đường thẳng trong Oxy (1)”

Quan hệ vuông góc-9/3/2016


Một số bài tập ôn tập.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A ta lấy điểm S. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC.
a) Chứng minh các mặt của S.ABC là các tam giác vuông;
b) Chứng minh AE\bot (SBC),DE\bot SBDE\bot AE;
c) Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên d\,\, (S\not=A).
Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A ta lấy M\,\, (M\not=A). Gọi HO lần lượt là trực tâm của các tam giác ABCMBC, K=OH\cap d.
a) Chứng minh OH\bot (MBC);
b) Khi M di động trên d, tìm vị trí của nó để MK nhỏ nhất.
Bài 3. Trong mặt phẳng \alpha cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, M là một điểm di động trên (C) (M\not=A,B). Cho S là điểm thỏa mãn SA=2RSA\bot\alpha. Gọi AH,AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB,SAMT=HK\cap BM.
a) Chứng minh T nằm trên một đường thẳng cố định;
b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AHK.
Bài 4. Cho tam giác BCD vuông tại BCD=\alpha,\widehat{C}=\alpha. Gọi A là điểm thỏa mãn BA=aBA\bot (BCD).
a) Tính d(B;(ACD);
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tìm \alpha để (ABI) là mặt phẳng trung trực của CD;
c) Biết C,D cố định. Chứng minh AC^2+AD^2 không đổi.
Bài 5. Cho tứ diện SABCSA,SB,SC đôi một vuông góc. Đặt a=SA,b=SB,c=SC. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
1) Tính SG,SH;
2) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn và a^2\tan A=b^2\tan B=c^2\tan C;
3) Chứng minh \dfrac{9}{2}SH^2\leq S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}\leq \sqrt{3}S_{ABC}.
4) Biết b+c=a. Chứng minh \widehat{SAB}+\widehat{SAC}+\widehat{CAB}=90^{\circ}. Continue reading “Quan hệ vuông góc-9/3/2016”

25/01/2016-Bất đẳng thức


Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c và $d$ thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh rằng
6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}.
Bài 2. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8.

Bài 3. Cho các số thực a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq\frac{9}{10}.
Bài 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2.
Bài 5. Cho các số thực không âm a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1.
Bài 6. Cho a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right).
Bài 7. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \frac{3}{5}. Continue reading “25/01/2016-Bất đẳng thức”