Tag: ôn thi 10 chuyên

Kiểm tra tháng 1/2017


Dành cho các bạn học sinh lớp 9.

Bài 1.

1) Cho các số thực a,b và c thỏa mãn a^2-b^2=4c^2. Chứng minh rằng (5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2.

2) Cho x,y và z là các số thực thoả mãn

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(x+y-2z)^2+(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

3) Chứng minh rằng nếu x,y và z là các số thực có tổng bằng 0 thì 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2).

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n^4+4 là số nguyên tố.

2) Cho các số nguyên dương a,b,c và d thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng số a^{3}+b^3+c^3+d^3 không phải là số nguyên tố.

3) Cho hai số hữu tỷ p<q. Hỏi có bao nhiêu số nguyên z thỏa mãn p\leq z\leq q?

Bài 3. Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định không nằm trên d. Gọi B và C là hai điểm di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và D là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt A và J.

1) Chứng minh JI^2=JD.JA;

2) Gọi E là tâm của đường tròn đi qua hai điểm A,D và tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên EB và N là hình chiếu vuông góc của D trên EC. Chứng minh các điểm B,I,C,M và N cùng nằm trên một đường tròn;

3) Gọi K là điểm đối xứng với I qua BC. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC tại hai điểm phân biệt I và G. Chứng minh đường thẳng GK luôn đi qua một điểm cố định khi  B và C di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC.