Tag: ôn thi 10 chuyên

Kiểm tra tháng 1/2017


Dành cho các bạn học sinh lớp 9.

Bài 1.

1) Cho các số thực a,b và c thỏa mãn a^2-b^2=4c^2. Chứng minh rằng (5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2.

2) Cho x,y và z là các số thực thoả mãn

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(x+y-2z)^2+(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

3) Chứng minh rằng nếu x,y và z là các số thực có tổng bằng 0 thì 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2).

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n^4+4 là số nguyên tố.

2) Cho các số nguyên dương a,b,c và d thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng số a^{3}+b^3+c^3+d^3 không phải là số nguyên tố.

3) Cho hai số hữu tỷ p<q. Hỏi có bao nhiêu số nguyên z thỏa mãn p\leq z\leq q?

Bài 3. Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định không nằm trên d. Gọi B và C là hai điểm di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và D là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt A và J.

1) Chứng minh JI^2=JD.JA;

2) Gọi E là tâm của đường tròn đi qua hai điểm A,D và tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên EB và N là hình chiếu vuông góc của D trên EC. Chứng minh các điểm B,I,C,M và N cùng nằm trên một đường tròn;

3) Gọi K là điểm đối xứng với I qua BC. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC tại hai điểm phân biệt I và G. Chứng minh đường thẳng GK luôn đi qua một điểm cố định khi  B và C di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC.

Bài tập số học (2)


Đây là các bài tập dành cho học sinh THCS chuẩn bị thi Olympic Toán giữa các thành phố năm 2015 (Tournament of Towns 2015).

Các em có thể tham khảo thêm ở https://nttuan.org/2015/10/09/topic-696/ hoặc https://nttuan.org/2015/10/10/topic-697/

Continue reading “Bài tập số học (2)”