China National Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Xét các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31} thỏa mãn

a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015,\quad b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.

Bài 2. Cho \triangle AEF, gọi BD nằm trên các đoạn AEAF tương ứng, và cho ED cắt FB tại C. Lấy K,L,M,N trên các đoạn AB,BC,CD,DA tương ứng sao cho \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BC},.... Đường tròn nội tiếp của \triangle AEF tiếp xúc với AE,AF tại S,T tương ứng, đường tròn nội tiếp của \triangle CEF tiếp xúc với CE,CF tại U,V tương ứng. Chứng minh rằng nếu K,L,M,N cùng nằm trên một đường tròn thì S,T,U,V cũng thế.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,...,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương

1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} sao cho

P(i) \equiv a_i \pmod p\quad\forall i=1,2,\ldots,p.

2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},

\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p

ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p. Continue reading “China National Olympiad 2016”

Lagrange’s interpolation polynomial


In this article, I will use Lagrange polynomial to solve some polynomial problems from Mathematical Olympiads.

Continue reading “Lagrange’s interpolation polynomial”