Tag: nhỏ nhất

Đáp án các đề thi vào 10, môn Toán, KHTN HN, 1989-2005


Mấy hôm trước tôi có đăng đề thi vào lớp 10, KHTN từ năm 1989 đến 2005. Đây là đáp án của các đề đó.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1 và (d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác B và C. Kẻ MI vuông góc với AB và MH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IH và AC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho a=\dfrac{2-\sqrt{2m}+m}{\sqrt{8}+m\sqrt{m}} và b=\dfrac{1+\sqrt{2m}}{\sqrt{2}+\sqrt{m}} với m\geq 0. Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa a,b mà không phụ thuộc m.

b)Cho x,y là các số thực thoả mãn x^3+y^3=1 và x^7+y^7=x^4+y^4. Chứng minh rằng x+y=1.

Bài 2.

a)Tìm các số nguyên dương n để số p=n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\\ x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=9.\end{cases}

Bài 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x(x+1)+1}}(x\in\mathbb{R}).

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R')(với R>R') tiếp xúc ngoài nhau tại C và AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn(A\in (O),B\in (O')). Tia BC cắt (O) tại điểm thứ hai E, tia AC cắt (O') tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng AE là đường kính của (O);

b)Tính AK^2+BE^2 theo R và R';

c)Một đường thẳng (d) đi qua C cắt (O) tại P, cắt (O') tại Q(P và Q khác C). Gọi M là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng khi (d) quay quanh C, điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định.