USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ. Continue reading “USAMO 2016”