Luyện tập Hình học-17/02/2016


Bài 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn \omega. Một đường tròn với dây BC cắt các đoạn ABAC tại các điểm thứ hai SR, tương ứng. Các đoạn BRCS cắt nhau tại L, và các tia LRLS cắt \omega tại DE, tương ứng. Phân giác trong của \angle BDE cắt ER tại K. Chứng minh rằng nếu BE = BR thì \angle ELK = \tfrac{1}{2} \angle BCD.
Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh ABAC tại DE tương ứng, và O tâm của (BCI). Chứng minh \angle ODB = \angle OEC.
Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, và D,E,F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC, AC, AB tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle AEF, \triangle BFD, và \triangle CDE cắt \Gamma tại các điểm thứ hai X,Y,Z tương ứng. Chứng minh các đường thẳng qua A,B,C vuông góc với AX,BY,CZ tương ứng đồng quy. Continue reading “Luyện tập Hình học-17/02/2016”

T-Math 1


Bài 1. Cho dãy số (x_n)_{n\geq 1} xác định bởi
x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2. Chứng minh x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có một hoán vị (p_1,p_2,...,p_n) của \{1,2,...,n\} để \{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\} là các hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 3. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O_1,O_2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC,ABD tương ứng. Đường thẳng O_1O_2 cắt các đoạn thẳng BC,AD tại E,F tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn \Gamma tiếp xúc với các đường thẳng BC,AD tại E,F tương ứng;
b) Chứng minh \Gamma cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Continue reading “T-Math 1”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=2\sqrt{3}+3\sqrt{27}-\sqrt{300};

b)B=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}, với x>0,x\not =1.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+3x-4=0;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}3x-2y=4\\2x+y=5.\end{cases}

Bài 3.

Cho hàm số y=(2m-1)x+m+1 với m là tham số và m\not =\dfrac{1}{2}. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau

a)Đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1,1);

b)Đồ thị cắt trục tung tại A, trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một canô chuyển động xuôi dòng từ A đến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước đứng yên.

Bài 5.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O;R).

a)Chứng minh rằng MAOB nội tiếp;

b)Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM=5cmR=3cm;

c)Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt (O;R) tại C,D(C nằm giữa MD). Gọi E là giao của ABOM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho m=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}n=\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}. So sánh mn.

b)Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Rút gọn biểu thức

M=a+b-\sqrt{\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab}}.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+\sqrt{x+1}=1;

b)Tìm các giá trị k để hai phương trình x^2+kx+1=0x^2+x+k=0 có nghiệm chung.

Bài 3.

a)Vẽ các đồ thị của các hàm số y=xy=-x+2 trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M(1,m) luôn cách đều hai đường thẳng trên;

b)Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên (x,y,z) thoả mãn x^2+y^2+z^2=x+y+z.

Bài 4.

Cho tam giác nhọn ABC thay đổi nhưng luôn nội tiếp (O;R). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và H là trực tâm của tam giác ABC.

a)Tính góc BAC để năm điểm B,I,O,H,C cùng thuộc một đường tròn;

b)Cho B,C cố định, tìm vị trí của A trên cung lớn BC để chu vi tam giác ABC lớn nhất.

Bài 5.

Tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Chứng minh rằng nếu nó nội tiếp thì

\dfrac{1}{IA^2}+\dfrac{1}{IC^2}=\dfrac{1}{IB^2}+\dfrac{1}{ID^2}.