Số khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng


Cho \mathcal{P} là một tập hợp gồm n\, (n\in\mathbb{Z}, n>2) điểm trong mặt phẳng. Gọi d_1, d_2, \ldots,d_k là dãy giảm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm thuộc \mathcal{P},m_1,m_2, \ldots,m_k lần lượt là bội của chúng.

1) Chứng minh rằng m_1\leq n.

2) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì số đường chéo dài nhất của đa giác này không vượt quá n.

3) Chứng minh rằng \displaystyle k> \sqrt{n-1}-1.

4) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle k\geq \left[\frac{n}{2}\right]. Khi n là số lẻ và có đẳng thức, chứng minh đa giác là n-giác đều.

5) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle m_2\leq \frac{4}{3}n.

6) Chứng minh rằng \displaystyle m_2\leq \frac{3}{2}n.

Gửi các bạn mới vào lớp 10 Chuyên toán: Một số cuốn sách nên có


Đây là bài trả lời cho câu hỏi: Em mới vào lớp 10 Chuyên toán, em nên có những cuốn sách nào?

0) Tài liệu giáo khoa Chuyên toán lớp 10 (gồm cả SBT).

1) Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates

2) Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems 


3) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads 


4) Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.


5) Các bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng.


6) David Burton, Elementary Number Theory.


7) Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức (Tập 1 và 2).

Mathematical Olympiads 2021: Problems from Around the World


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi Olympic Toán năm 2021. Các đề thi được đăng ở dạng một file pdf không link, không ad và không watermark.

[1] Đề thi chọn HSG QG của Việt Nam năm 2021.

[2] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Việt Nam.

[3] Đề thi chọn HSG QG của Ấn Độ năm 2021.

[4] Đề thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2021.

[5] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Trung Quốc.

[6] Đề thi chọn HSG QG của Mỹ năm 2021.

[7] Đề thi chọn HSG QG của Nhật năm 2021.

[8] Đề thi chọn HSG QG của Canada năm 2021.

[9] Đề thi chọn HSG QG của Bungari năm 2021.

Update 17/7/2021.