Balkan MO 2016


Bài 1. Tìm tất cả các đơn ánh f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R sao cho với mọi số thực x và mọi số nguyên dương n ta có

\displaystyle\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB<CD. Các đường chéo cắt nhau tại F và các đường thẳng ADBC cắt nhau tại E. Gọi KL là hình chiếu vuông góc của F trên ADBC tương ứng, và M, S, T là trung điểm của EF, CF, DF tương ứng. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKT và đường tròn ngoại tiếp tam giác MLS nằm trên CD.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức monic f với hệ số nguyên sao cho tồn tại số nguyên dương N để p chia hết 2(f(p)!)+1 với mọi số nguyên tố p>N thỏa mãn f(p) là số nguyên dương. Continue reading “Balkan MO 2016”