Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)


Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực (a_n) thỏa mãn a_1=1007a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* sao cho

\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm (x_1,y_1),(x_2,y_2),... sao cho với mọi dãy b_1,b_2,... các số thực, tồn tại P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y] thỏa mãn điều kiện \forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.

Hình học

Bài 4. Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK\perp AD.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi E,E là hai điểm trên AB,AC tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của BC bằng nhau. Gọi P là giao điểm thứ hai của (ABC)(AEF). Các tiếp tuyến tại E,F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh \angle KPA = 90^{\circ}.

Bài 6. Cho tam giác ABC với các đường cao AD,BE,CF. Hạ các đoạn vuông góc FA_{1},DB_{1},EC_{1} đến BC,AC,AB tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_{1}B_{1}C_{1}.

Số học

Bài 7. Cho F là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và P(x) \in \mathbb Z[X] thỏa mãn: Với mọi a,b\in F, ta có a+b \in F\gcd(P(a),P(b))=1. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói P(x)\in Z[x]tốt nếu có vô hạn số nguyên tố q sao cho tập \{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\} có ít nhất \dfrac{q+1}{2} phần tử. Chứng minh x^3+x là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương ađẹp theo modulo m nếu \gcd (a,m)=1 và tồn tại số nguyên dương x sao cho x^x \equiv a \pmod m. Cho a là đẹp theo modulo n^n. Chứng minh a cũng là đẹp theo modulo n^{n^n}.

Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị p của \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} sao cho tồn tại duy nhất i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} thỏa mãn p(p(i)) \geq i.

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ 7\times 7 thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.24 robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn 70^{\circ}. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)”