IMO 2017 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho n-giác đều P. Chứng minh rằng nếu 3 trong các đỉnh của P là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì P là hình vuông.
Bài 2. (Vietnam TST 2011) Có một con cào cào đậu ở điểm (1,1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ A đến B khi và chỉ khi diện tích của tam giác AOB bằng 1/2.
(a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m,n) sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ (1,1).
(b) Nếu (m,n) thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến (m,n) từ (1,1) sau nhiều nhất |m-n| lần nhảy.
Bài 3. Cho số nguyên n \ge 5. Xét các số nguyên a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(a) Các cặp (a_i,b_i) với i = 1,2,\cdots,n đôi một khác nhau;
(b) |a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số i,j sao cho 1<|i-j|<n-1|a_ib_j-a_jb_i|=1.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho P là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của P sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của P. Continue reading “IMO 2017 training (1)”

IMO training 2016 (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link  https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/

—–

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi f(n) là chữ số khác 0 cuối cùng trong biểu diễn thập phân của n!. Chứng minh rằng f(625n)=f(n)\,\,\forall n>1.

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với vô hạn số nguyên dương a ta có a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên a>1 sao cho

a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

Bài 3. Cho số nguyên tố p>3. Với mỗi tập S\subset\mathbb{Z}a\in \mathbb{Z}, định nghĩa

S_{a}= \{x\in \{0,1,2,\ldots,p-1\} \mid (\exists s \in S) x\equiv a \cdot s \pmod{p} \}.

(i) Có bao nhiêu tập S\subset \{ 1,2,\ldots,p-1 \} sao cho dãy S_{1},S_{2},...,S_{p-1} chứa đúng 2 phần tử khác nhau?

(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại S\subset \{1,2,3,\ldots,p-1\} để dãy S_{1},S_{2},\ldots,S_{p-1} chứa đúng k phần tử khác nhau.

Bài 4. Cho số nguyên n\ge 2, một hàm f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\} được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên k,1\le k\le n-1 tồn tại số nguyên j sao cho với mỗi số nguyên m ta có

f(m+j)\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. Tìm số hàm tốt.

Bài 5. Cho số nguyên tố p. Chứng minh rằng

a) Nếu p>5k là số tự nhiên thỏa mãn 3<k<p thì kpA_{k-1}-2A_k chia hết cho p^4;

b) Nếu p>3 thì p^2A_{p-1}-2A_p chia hết cho p^5.

Ở đây A_i=1^i+2^i+\cdots+(p-1)^i\,\,\forall i\in\mathbb{N}. Continue reading “IMO training 2016 (2)”