IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n\displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M\displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”