IMO 2019 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé!


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Chứng minh rằng \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.
Bài 2. Cho số nguyên tố lẻ \displaystyle p. Chứng minh rằng nếu \displaystyle g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)} là các căn nguyên thủy \displaystyle\pmod{p} thì \displaystyle \sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.
Bài 3. Cho dãy số \displaystyle(a_n) thỏa mãn \displaystyle \sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle n|a_n. Continue reading “IMO 2019 training (1)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”