Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc


Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle ABCDE là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm \displaystyle O và có \displaystyle AB=AE=CD. Gọi \displaystyle I là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle J là trung điểm của \displaystyle DE, \displaystyle F là trực tâm của tam giác \displaystyle ABE, và \displaystyle G là trọng tâm của tam giác \displaystyle AIJ. \displaystyle CE cắt \displaystyle BD tại \displaystyle H, \displaystyle OG cắt \displaystyle FH tại \displaystyle M. Chứng minh \displaystyle AM\perp CD.
Bài 2. Cho số nguyên \displaystyle n\geq 3. Liệu có vô hạn tập \displaystyle S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace gồm các số nguyên dương sao cho \displaystyle (a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1, \displaystyle \lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n\displaystyle \lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n là các cấp số cộng, đồng thời \displaystyle \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương \displaystyle n sao cho có \displaystyle n điểm \displaystyle P_1,P_2,\ldots,P_n trên đường tròn đơn vị để \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) \displaystyle k=2018.
b) \displaystyle k=2019.
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương \displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1} được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương \displaystyle m,n khác nhau ta có \displaystyle (m,n) \mid a_m^2 + a_n^2\displaystyle (a_m,a_n) \mid m^2 + n^2. Số nguyên dương \displaystyle a được gọi là \displaystyle k-tốt nếu tồn tại dãy tốt \displaystyle \{a_n\} sao cho \displaystyle a_k = a. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle k sao cho có đúng \displaystyle 2019 số nguyên dương \displaystyle k-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sao cho \displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.
Bài 6. Cho số thực dương \displaystyle k. Hai người \displaystyle A\displaystyle B chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có \displaystyle 80 số \displaystyle 0 đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, \displaystyle A tăng một vài số trong \displaystyle 80 số sao cho tổng các số mới tăng \displaystyle 1. Sau đó, \displaystyle B chọn \displaystyle 10 số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống \displaystyle 0. \displaystyle A thắng nếu sau hữu hạn bước \displaystyle A thu được ít nhất một số không bé hơn \displaystyle k. Tìm tất cả \displaystyle k để \displaystyle A có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. \displaystyle AB\displaystyle AC là các tiếp tuyến của một đường \displaystyle \omega với tâm \displaystyle O tại \displaystyle B,C. Điểm \displaystyle P di động trên cung nhỏ \displaystyle BC của đường tròn. Tiếp tuyến tại \displaystyle P của \displaystyle \omega cắt \displaystyle AB,AC lần lượt tại \displaystyle D,E. \displaystyle AO cắt \displaystyle BP,CP lần lượt tại \displaystyle U,V. Đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AB cắt \displaystyle DV tại \displaystyle M, đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AC cắt \displaystyle EU tại \displaystyle N. Chứng minh \displaystyle MN đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các bộ \displaystyle 10 số tự nhiên có tổng bằng \displaystyle 2019. Với mỗi phần tử của \displaystyle S, nếu một thành phần của nó không bé hơn \displaystyle 9, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi \displaystyle 9 và cộng các thành phần còn lại thêm \displaystyle 1. Với mỗi \displaystyle A,B\in S, ký hiệu \displaystyle A\rightarrow B nếu ta có thể thu được \displaystyle B từ \displaystyle A sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên \displaystyle k bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong \displaystyle A,B\in S không bé hơn \displaystyle k, thì \displaystyle A\rightarrow B kéo theo \displaystyle B\rightarrow A.
(2) Với số \displaystyle k tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của \displaystyle S sao cho với mỗi \displaystyle A,B khác nhau được chọn, \displaystyle A\not\rightarrow B?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn \displaystyle n. Xét các số thực không âm \displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n có tổng bằng \displaystyle 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập \displaystyle A\displaystyle B các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: \displaystyle A là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, \displaystyle B là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập \displaystyle A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\} nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n nguyên tố cùng nhau, có \displaystyle x\in A+B để \displaystyle x\equiv n \pmod m?
Bài 5. Cho \displaystyle M là trung điểm của cạnh \displaystyle BC của tam giác \displaystyle ABC. Đường tròn đường kính \displaystyle BC, ký hiệu \displaystyle \omega, cắt \displaystyle AB,AC lần hai tại \displaystyle D,E tương ứng. \displaystyle P nằm trong tam giác \displaystyle ABC sao cho \displaystyle \angle PBA=\angle PAC, \displaystyle \angle PCA=\angle PAB\displaystyle 2PM\cdot DE=BC^2. Điểm X nằm ngoài \displaystyle \omega sao cho \displaystyle XM\parallel AP\displaystyle \displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}. Chứng minh rằng \displaystyle \angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \displaystyle p,q>1, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng \displaystyle px+qy (\displaystyle x,y\in\mathbb{N}) là xấu, và ký hiệu \displaystyle S(p,q) là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của \displaystyle 2019. Chứng minh tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle (p-1)(q-1) chia hết \displaystyle nS(p,q) với mọi \displaystyle p,q.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức \displaystyle x,y,z thỏa mãn \displaystyle |x|^2+|y|^2+|z|^2=1. Chứng minh rằng \displaystyle |x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.
Bài 2. Cho \displaystyle S là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \displaystyle n \in S khi và chỉ khi \displaystyle \displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n=2^k \cdot p (k\in\mathbb{N}, \displaystyle p là số nguyên tố lẻ) sao cho \displaystyle \displaystyle \sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc”

IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!


Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

IMO 2019 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé!


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Chứng minh rằng \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.
Bài 2. Cho số nguyên tố lẻ \displaystyle p. Chứng minh rằng nếu \displaystyle g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)} là các căn nguyên thủy \displaystyle\pmod{p} thì \displaystyle \sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.
Bài 3. Cho dãy số \displaystyle(a_n) thỏa mãn \displaystyle \sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle n|a_n. Continue reading “IMO 2019 training (1)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”