IMO 2017 – Day 2


Day 1 https://nttuan.org/2017/07/19/imo-2017-day-1/

—-

Bài 4. Cho R,S là hai điểm phân biệt trên đường tròn \Omega sao cho RS không phải đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của \Omega tại R. Lấy T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy J trên cung nhỏ RS của \Omega sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của l(JST). AJ cắt lại \Omega tại K. Chứng minh KT tiếp xúc với (JST).
Bài 5. Cho số nguyên N>1. Có N(N+1) cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa N(N-1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, N điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất.
(2) Không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cao thứ tư.
\cdots\cdots\cdots
(N) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh ngài Alex luôn có thể làm được điều đó. Continue reading “IMO 2017 – Day 2”

USA TSTST 2017


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC nội tiếp đường tròn \displaystyle \Gamma có tâm \displaystyle O, và trực tâm \displaystyle H. Giả sử \displaystyle AB\neq AC\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC, và \displaystyle E\displaystyle F lần lượt là chân các đường cao hạ từ \displaystyle B\displaystyle C của tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle P là giao điểm của \displaystyle MN với tiếp tuyến của \displaystyle \Gamma tại \displaystyle A. Gọi \displaystyle Q là giao điểm thứ hai của \displaystyle \Gamma với \displaystyle (AEF). Gọi \displaystyle R là giao điểm của \displaystyle AQ\displaystyle EF. Chứng minh rằng \displaystyle PR\perp OH.
Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên \displaystyle k và đố Ana đưa ra một từ có đúng \displaystyle k dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn \displaystyle k của Banana?
Bài 3. Xét phương trình \displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}, ở đây \displaystyle f\displaystyle g là các đa thức với hệ số thực không âm. Với \displaystyle c>0, xác định giá trị nhỏ nhất của \displaystyle \deg f hoặc chứng tỏ \displaystyle f,g không tồn tại.

Continue reading “USA TSTST 2017”

Turkey TST 2017 (3)


Các bạn có thể xem ngày thứ hai ở đây.

Ngày thứ ba
Bài 7. Cho số thực \displaystyle a. Tìm số hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
\displaystyle f(xy+f(y))=f(x)y+a,\quad \forall x, y\in \mathbb{R}.
Bài 8. Cho tam giác \displaystyle ABC với các phân giác trong \displaystyle BD\displaystyle CE. Gọi \displaystyle I_{c} là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle C\displaystyle F là trung điểm của \displaystyle BI_{c}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle CF^2=CE^2+DF^2 thì tam giác \displaystyle ABC là một tam giác đều. Continue reading “Turkey TST 2017 (3)”

Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 ở link https://nttuan.org/2017/05/17/iran-tst-2017-2/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn a_m>0:

\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.

Bài 2. Cho P là một điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho

\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC.

Chứng minh rằng \angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương x,y,z:

1) f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).

2) f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho 6 điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong 4 điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số k. Chứng minh rằng cả 6 điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần đầu ở link https://nttuan.org/2017/05/15/iran-tst-2017-1/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tứ giác ABCD là hình thang với AB \parallel CD. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại P. Gọi \omega _1 là đường tròn qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi \omega _2 là đường tròn qua C và tiếp xúc với BD tại D. Gọi \omega _3 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Chứng minh rằng dây chung của các đường tròn \omega _1,\omega _3 và dây chung của các đường tròn \omega _2, \omega _3 cắt nhau tại một điểm trên AD.

Bài 2. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào chia hết cho nhau nhưng trong mỗi ba số, một số chia hết tổng hai số còn lại.

Bài 3. Xét 27 tấm thẻ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi tấm thẻ có đúng 1 hoặc 2 hoặc 3 hình tròn hoặc hình vuông hoặc hình tam giác trên nó và các hình này mang đúng một trong ba màu trắng, xám hoặc đen;

2) Trên mỗi tấm thẻ chỉ có một loại hình: hình tròn, hình vuông, hoặc hình tam giác.

Một bộ ba các tấm thẻ được gọi là phù hợp nếu các tấm thẻ có số lượng hình bằng nhau hoặc đôi một khác nhau, có cùng loại hình hoặc các loại hình đôi một khác nhau, và có màu của các hình giống hoặc đôi một khác nhau.

Hỏi ta có thể chọn ra nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ để không thể tạo thành một bộ ba phù hợp từ các tấm thẻ này?

Ngày thứ hai

Bài 4. Một bộ các đa thức n biến với hệ số thực \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) được gọi là tốt nếu nó có tính chất: với mỗi n hàm f_1,f_2, \cdots ,f_n : \mathbb R \to \mathbb R, nếu với mọi 1 \le i \le n+1, P_i(x)=h_i \left(f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) \right) là một đa thức biến x thì f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) cũng là các đa thức.

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho bậc của tất cả h_i lớn hơn 1.

b) Chứng minh không có số nguyên n>1 để có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho tất cả h_i là các đa thức đối xứng. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương với a+b+c+d=2. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right ).

Bài 2.13 học sinh tham gia kỳ thi chọn đội IMO của một quốc gia. Họ đã làm 6 bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của 6 bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội IMO sẽ gồm 6 học sinh).

Bài 3. Cho tam giác ABC với I_a là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi \omega là một đường tròn bất kỳ qua A,I_a và cắt phần kéo dài của các cạnh AB,AC (kéo dài từ B,C) tại X,Y tương ứng. Gọi S,T là các điểm trên các đoạn I_aB,I_aC tương ứng sao cho \angle AXI_a=\angle BTI_a\angle AYI_a=\angle CSI_a. Các đường thẳng BT,CS cắt nhau tại K. Các đường thẳng KI_a,TS cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Ngày thứ hai

Bài 4. Gọi p_i là số nguyên tố thứ i. Cho n_1<n_2<\cdots là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi i=1,2,3,\cdots, phương trình x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i} có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không? Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1”