Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.
Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.
Lecture Notes in Mathematics, High School Olympiads
Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.
Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.
Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác vuông tại
. Gọi
là một điểm trên đường thẳng
sao cho
và
nằm giữa
,
. Lấy
sao cho
và
là phân giác của
. Điểm
được chọn sao cho
và
là phân giác của
. Gọi
là trung điểm của
. Gọi
là điểm sao cho
là hình bình hành. Chứng minh
và
đồng quy.
G2. Cho tam giác với đường tròn ngoại tiếp
, tâm nội tiếp
. Gọi
là trung điểm của
. Các điểm
,
,
lần lượt nằm trên các cạnh
,
,
sao cho
,
,
. Biết
cắt
tại hai điểm phân biệt
và
. Chứng minh
và
cắt nhau trên
.
G3. Cho và
. Một tập con
khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
có
trong
sao cho với mỗi
trong
, đoạn
nằm trong
; và
với mỗi tam giác
, tồn tại duy nhất
trong
và hoán vị
của
để
và
đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau và
của
thỏa mãn: nếu
và
là các điểm tồn tại duy nhất trong
, thì
là hằng số không phụ thuộc tam giác
. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”
Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương và
thỏa mãn
, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài
, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài
khác xâu của trưởng đoàn đúng
vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tất cả các ước dương của
có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với
. Ta tô các đỉnh của một
giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng
ta có thể viết một trong các chữ cái
và
để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là , một phần ba là
và một phần ba là
;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của , một phần ba là
, một phần ba là
và một phần ba là
.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng được đánh số từ
đến
theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương
với
. Khi
, bảng có
đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô
với
là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô
với
là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”
Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—
N1. Với mỗi số nguyên dương , gọi
là tổng các chữ số của
khi viết trong hệ thập phân. Tìm tất cả
sao cho với mỗi số nguyên
, số
là số nguyên dương và
N2. Với mỗi số nguyên dương , gọi
là số ước dương của
và
là số ước dương của
chia cho
dư
. Tìm tất cả các giá trị nguyên có thể của
N3. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt . Hãy tìm số nguyên dương
nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm
để tập hợp
là tập hương.
N4. Cho các số nguyên dương và
thỏa mãn
và
chia hết
. Chứng minh rằng
(a) và
hoặc
(b) và
N5. Cho là số nguyên dương không chính phương. Gọi
là tập tất cả các số nguyên dương
sao cho
ở đây
và
là các số nguyên thỏa mãn
. Gọi
là tập tất cả các số nguyên dương
sao cho
đúng, với
và
là các số nguyên thỏa mãn
. Chứng minh rằng
.
N6. Tìm tất cả các hàm sao cho với mỗi hai số nguyên dương
và
,
khác
và chia hết
. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Number theory”
A1. Cho là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng
A2. Tìm hằng số thực nhỏ nhất sao cho: Với mỗi
số thực dương (không cần phân biệt)
,
,
,
và
, tồn tại các chỉ số
,
,
và
đôi một khác nhau để
A3. Tìm tất cả các số nguyên có tính chất: với mỗi
số thực
,
,
;
thỏa mãn
, tồn tại
số
sao cho
A4. Tìm tất cả các hàm số sao cho
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , tồn tại phân số
thỏa mãn
và
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương sao cho không tồn tại phân số
thỏa mãn
và
Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”
Chào các bạn đồng nghiệp,
trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/
—–
Bài 1. Với mỗi số nguyên dương , gọi
là chữ số khác
cuối cùng trong biểu diễn thập phân của
. Chứng minh rằng
.
Bài 2.
1) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho với vô hạn số nguyên dương
ta có
2) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại số nguyên
sao cho
Bài 3. Cho số nguyên tố . Với mỗi tập
và
, định nghĩa
(i) Có bao nhiêu tập sao cho dãy
chứa đúng
phần tử khác nhau?
(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại
để dãy
chứa đúng
phần tử khác nhau.
Bài 4. Cho số nguyên , một hàm
được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên
tồn tại số nguyên
sao cho với mỗi số nguyên
ta có
Tìm số hàm tốt.
Bài 5. Cho số nguyên tố . Chứng minh rằng
a) Nếu và
là số tự nhiên thỏa mãn
thì
chia hết cho
;
b) Nếu thì
chia hết cho
.
Ngày thứ nhất
Bài 1. là lục giác nội tiếp với
.
là điểm trên cạnh
sao cho
. Chứng minh
.
Bài 2. Tìm số thực dương nhỏ nhất sao cho với mọi số phức
, nếu
, thì
Bài 3. Cho số tự nhiên . Đặt
Với mỗi , định nghĩa
Tìm số phần tử lớn nhất có thể của một tập con thực sự của
sao cho với mỗi
, ta có
. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (1)”
Theo fb thầy Nguyễn Khắc Minh.
————————-
TST 2016
TST (Team Selection Test) là tên gọi tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh vào Đội tuyển học sinh Việt Nam dự thi IMO (International Mathematical Olympiad). TST 2016 là tên gọi tắt của TST được tổ chức vào năm 2016.
Theo Quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành:
+ Các học sinh được triệu tập tham dự TST bao gồm:
– Diện 1: Các học sinh đã dự thi IMO năm ngay trước, đồng thời đang học cấp THPT và không dự thi VMO được tổ chức cùng năm;
– Diện 2: n học sinh có điểm thi cao nhất tại VMO được tổ chức cùng năm, trong đó n là một số tự nhiên không vượt quá 48=8 x 6).
+ 06 thí sinh có điểm thi cao nhất sẽ được tuyển chọn vào Đội tuyển học sinh VN dự thi IMO được tổ chức cùng năm.
Theo Quy chế thi THPT quốc gia hiện hành, các học sinh lớp 12 dự thi TST được đặc cách công nhận Tốt nghiệp THPT.
TST 2016 được tổ chức trong 3 ngày, từ 23/3 đến 25/3/2016, tại Hà Nội. Ngày 23/3 là ngày các thí sinh làm các thủ tục dự thi và 2 ngày tiếp theo là các ngày thi.
Do sự cố kĩ thuật trong quá trình xử lí dữ liệu thi của VMO 2016, số học sinh được triệu tập tham dự TST 2016 là 50, gồm 01 học sinh thuộc diện 1 (em Vũ Xuân Trung, học sinh lớp 12 trường THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và 49 học sinh thuộc diện 2.
Trong mỗi ngày thi, các thí sinh được đề nghị giải 03 bài toán trong thời gian 270 phút. Điểm số cho mỗi bài toán thi là 7 điểm. Như vậy điểm tối đa của mỗi ngày thi là 21 và điểm tối đa của Kì thi là 42.
Việc chấm thi, xét duyệt và phê chuẩn kết quả thi của TST 2016 đã kết thúc vào chiều tối ngày 04/4/2016. Continue reading “Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2016”