IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt XA. Chứng minh XDAM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0)C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)}T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABCP_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau SS' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in SA' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”

IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n\displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M\displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”

IMO 2016 Shortlist – Number theory


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/

N1. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle k, gọi \displaystyle S(k) là tổng các chữ số của \displaystyle k khi viết trong hệ thập phân. Tìm tất cả \displaystyle P(x)\in\mathbb{Z}[x] sao cho với mỗi số nguyên \displaystyle n\geq 2016, số \displaystyle P(n) là số nguyên dương và \displaystyle S(P(n))=P(S(n)).
N2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, gọi \displaystyle \tau (n) là số ước dương của \displaystyle n\displaystyle \tau_1(n) là số ước dương của \displaystyle n chia cho \displaystyle 3\displaystyle 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên có thể của \displaystyle \dfrac{\tau (10n)}{\tau_1(10n)}.
N3. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt \displaystyle P(n)=n^{2}+n+1. Hãy tìm số nguyên dương \displaystyle b nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm \displaystyle a để tập hợp \displaystyle \left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \} là tập hương.
N4. Cho các số nguyên dương \displaystyle n,m,k\displaystyle l thỏa mãn \displaystyle n\not=1\displaystyle n^k+m.n^l+1 chia hết \displaystyle n^{k+l}-1. Chứng minh rằng
(a) \displaystyle m=1\displaystyle l=2k hoặc
(b) \displaystyle l|k\displaystyle m=\dfrac{n^{k-l}-1}{n^l-1}.
N5. Cho \displaystyle a là số nguyên dương không chính phương. Gọi \displaystyle A là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle k=\dfrac{x^2-a}{x^2-y^2},\quad (1) ở đây \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle x>\sqrt{a}. Gọi \displaystyle B là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle (1) đúng, với \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle 0\leq x<\sqrt{a}. Chứng minh rằng \displaystyle A=B.
N6. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n, \displaystyle f(m)+f(n)-mn khác \displaystyle 0 và chia hết \displaystyle mf(m)+nf(n). Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Number theory”

IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”

IMO training 2016 (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link  https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/

—–

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi f(n) là chữ số khác 0 cuối cùng trong biểu diễn thập phân của n!. Chứng minh rằng f(625n)=f(n)\,\,\forall n>1.

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với vô hạn số nguyên dương a ta có a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên a>1 sao cho

a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

Bài 3. Cho số nguyên tố p>3. Với mỗi tập S\subset\mathbb{Z}a\in \mathbb{Z}, định nghĩa

S_{a}= \{x\in \{0,1,2,\ldots,p-1\} \mid (\exists s \in S) x\equiv a \cdot s \pmod{p} \}.

(i) Có bao nhiêu tập S\subset \{ 1,2,\ldots,p-1 \} sao cho dãy S_{1},S_{2},...,S_{p-1} chứa đúng 2 phần tử khác nhau?

(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại S\subset \{1,2,3,\ldots,p-1\} để dãy S_{1},S_{2},\ldots,S_{p-1} chứa đúng k phần tử khác nhau.

Bài 4. Cho số nguyên n\ge 2, một hàm f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\} được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên k,1\le k\le n-1 tồn tại số nguyên j sao cho với mỗi số nguyên m ta có

f(m+j)\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. Tìm số hàm tốt.

Bài 5. Cho số nguyên tố p. Chứng minh rằng

a) Nếu p>5k là số tự nhiên thỏa mãn 3<k<p thì kpA_{k-1}-2A_k chia hết cho p^4;

b) Nếu p>3 thì p^2A_{p-1}-2A_p chia hết cho p^5.

Ở đây A_i=1^i+2^i+\cdots+(p-1)^i\,\,\forall i\in\mathbb{N}. Continue reading “IMO training 2016 (2)”

China Team Selection Test 2016 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1. ABCDEF là lục giác nội tiếp với AB=BC=CD=DE. K là điểm trên cạnh AE sao cho \angle BKC=\angle KFE, \angle CKD = \angle KFA. Chứng minh KC=KF.

Bài 2. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mọi số phức {z_1},{z_2},{z_3}\in\{z\in C\big| |z|<1\} , nếu  z_1+z_2+z_3=0, thì \left|z_1z_2 +z_2z_3+z_3z_1\right|^2+\left|z_1z_2z_3\right|^2 <\lambda .

Bài 3. Cho số tự nhiên n \geq 2. Đặt

X = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) | a_k \in \{0,1,2,\cdots,k\}, k = 1,2,\cdots,n \}.

Với mỗi s = (s_1,s_2,\cdots,s_n) \in X, t = (t_1,t_2,\cdots,t_n) \in X, định nghĩa

s \vee t = (\max \{s_1,t_1\},\max \{s_2,t_2\}, \cdots , \max \{s_n,t_n\} )

s \wedge t = (\min \{s_1,t_1 \}, \min \{s_2,t_2,\}, \cdots, \min \{s_n,t_n\})

Tìm số phần tử lớn nhất có thể của một tập con thực sự A của X sao cho với mỗi s,t \in A, ta có s \vee t \in A, s \wedge t \in A. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (1)”

Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2016


Theo fb thầy Nguyễn Khắc Minh.

————————-

TST 2016

TST (Team Selection Test) là tên gọi tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh vào Đội tuyển học sinh Việt Nam dự thi IMO (International Mathematical Olympiad). TST 2016 là tên gọi tắt của TST được tổ chức vào năm 2016.

Theo Quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành:

+ Các học sinh được triệu tập tham dự TST bao gồm:
– Diện 1: Các học sinh đã dự thi IMO năm ngay trước, đồng thời đang học cấp THPT và không dự thi VMO được tổ chức cùng năm;
– Diện 2: n học sinh có điểm thi cao nhất tại VMO được tổ chức cùng năm, trong đó n là một số tự nhiên không vượt quá 48=8 x 6).
+ 06 thí sinh có điểm thi cao nhất sẽ được tuyển chọn vào Đội tuyển học sinh VN dự thi IMO được tổ chức cùng năm.

Theo Quy chế thi THPT quốc gia hiện hành, các học sinh lớp 12 dự thi TST được đặc cách công nhận Tốt nghiệp THPT.

TST 2016 được tổ chức trong 3 ngày, từ 23/3 đến 25/3/2016, tại Hà Nội. Ngày 23/3 là ngày các thí sinh làm các thủ tục dự thi và 2 ngày tiếp theo là các ngày thi.

Do sự cố kĩ thuật trong quá trình xử lí dữ liệu thi của VMO 2016, số học sinh được triệu tập tham dự TST 2016 là 50, gồm 01 học sinh thuộc diện 1 (em Vũ Xuân Trung, học sinh lớp 12 trường THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và 49 học sinh thuộc diện 2.
Trong mỗi ngày thi, các thí sinh được đề nghị giải 03 bài toán trong thời gian 270 phút. Điểm số cho mỗi bài toán thi là 7 điểm. Như vậy điểm tối đa của mỗi ngày thi là 21 và điểm tối đa của Kì thi là 42.

Việc chấm thi, xét duyệt và phê chuẩn kết quả thi của TST 2016 đã kết thúc vào chiều tối ngày 04/4/2016. Continue reading “Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2016”