IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”