Số khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng


Cho \mathcal{P} là một tập hợp gồm n\, (n\in\mathbb{Z}, n>2) điểm trong mặt phẳng. Gọi d_1, d_2, \ldots,d_k là dãy giảm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm thuộc \mathcal{P},m_1,m_2, \ldots,m_k lần lượt là bội của chúng.

1) Chứng minh rằng m_1\leq n.

2) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì số đường chéo dài nhất của đa giác này không vượt quá n.

3) Chứng minh rằng \displaystyle k> \sqrt{n-1}-1.

4) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle k\geq \left[\frac{n}{2}\right]. Khi n là số lẻ và có đẳng thức, chứng minh đa giác là n-giác đều.

5) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle m_2\leq \frac{4}{3}n.

6) Chứng minh rằng \displaystyle m_2\leq \frac{3}{2}n.