Serbia Additional Team Selection Test 2016


Bài 1. Với số nguyên dương x, ta ký hiệu w(x) là ước lẻ lớn nhất của x. Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn \gcd(a,b)=1a+w(b+1), b+w(a+1) đều là các lũy thừa của 2. Chứng minh rằng a+1b+1 là các lũy thừa của 2.

Bài 2. Cho ABCD là hình vuông với cạnh 4. Tìm k lớn nhất sao cho với mọi cách đặt k điểm bên trong ABCD, tồn tại một hình vuông có cạnh 1 nằm trong ABCDsao cho nó không chứa điểm nào bên trong nó. Continue reading “Serbia Additional Team Selection Test 2016”

T-Math 6


Bài 1. Cho xy là các số thực dương sao cho x+y^{2016}\geq 1. Chứng minh rằng x^{2016}+y> 1-\dfrac{1}{100}.
Bài 2. Cho lục giác lồi A_1B_1A_2B_2A_3B_3 nội tiếp đường tròn \Omega bán kính R. Các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 đồng quy tại X. Với mỗi i=1,2,3 gọi \omega_i là đường tròn tiếp xúc với các đoạn XA_i, XB_i và cung A_iB_i của \Omega không chứa các đỉnh khác của lục giác; gọi r_i là bán kính của \omega_i.
(a) Chứng minh R\geq r_1+r_2+r_3;
(b) Nếu R= r_1+r_2+r_3, chứng minh sáu tiếp điểm của \omega_i với các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 là đồng viên. Continue reading “T-Math 6”

VMO training 2016 – Part 2


Bài 10. Chứng minh rằng tồn tại 2015 số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng 14 số nguyên tố.
Bài 11. Với số nguyên dương chẵn n ta đặt các số 1,2,...,n^2 vào các ô của bàn cờ cỡ n\times n (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi S_1 là tổng các số trên các ô đen và S_2 là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả n sao cho ta có thể có \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}.
Bài 12. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.
Tìm số các bộ tốt.
Bài 13. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{x/y\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh rằng |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 14. Cho n>1 là một số nguyên dương và T_n là số các tập con khác rỗng của tập \{1,2,\cdots,n\} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng T_n-n là một số chẵn.
Bài 15. Tìm số đa thức f(x)=ax^3+bx thỏa mãn cả hai điều kiện:
(i) a,b\in\{1,2,\ldots,2013\};
(ii) \{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 2013. Continue reading “VMO training 2016 – Part 2”