## Harmonic division (1)

Problem 1. Let $\triangle ABC$ be a triangle. The incircle of triangle $\triangle ABC$ touches side $BC$ at $A'.$ Let segment $AA'$ meet the incircle again at $P.$ Segments $BP,CP$ meet the incircle at $M,N,$ respectively. Show that lines $AA',BN,CM$ are concurrent.

Problem 2. Given acute triangle $ABC$ with $AB>AC$, let $M$ be the midpoint of $BC$. $P$ is a point in triangle $AMC$ such that $\angle MAB=\angle PAC$. Let $O,O_1,O_2$ be the circumcenters of $\triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP$ respectively. Prove that line $AO$ passes through the midpoint of $O_1 O_2$.

Problem 3. Let $ABCD$ be a cyclic kite (i.e. $BD$ is a perpendicular chord onto the diameter $AC$) and $M$ the midpoint of $AD$. The perpendicular from $C$ onto $BM$ intersects $AD$ at $P$. Prove that $BP$ is tangent to the circle $\odot (ABC)$.

Problem 4. In triangle $ABC$, let $I$ be the incenter and let $I_a$ be the excenter opposite $A$. Suppose that $II_a$ meets $BC$ and the circumcircle of triangle $ABC$ at $A_0$ and $M$, respectively. Let $N$ be the midpoint of arc $MBA$ of the circumcircle of triangle $ABC$. Let lines $NI$ and $NI_a$ intersect the circumcircle of triangle $ABC$ again at $S$ and $T$, respectively. Prove that $S$, $T$, and $A_0$ are collinear. Continue reading “Harmonic division (1)”

1. Các đường tròn $\Gamma_1$$\Gamma_2$ cắt nhau tại hai điểm $A$$B$. Một đường thẳng qua $B$ cắt $\Gamma_1$$\Gamma_2$ tại các điểm $C$ and $D$ tương ứng. Đường thẳng qua $B$ khác cắt $\Gamma_1$$\Gamma_2$ tại các điểm $E$ and $F$ tương ứng. Đường thẳng $CF$ cắt $\Gamma_1$$\Gamma_2$ tại các điểm $P$ and $Q$ tương ứng. Cho $M$$N$ là trung điểm của các cung nhỏ $\widehat{PB}$$\widehat{QB}$. Chứng minh rằng nếu $CD=EF$, thì $C$, $F$, $M$, $N$ đồng viên.

2. Cho $k \ge 3$ là một số nguyên. Dãy $\{ a_n \}$ được xác định như sau: $a_{k}=2k$, và với mỗi $n > k$, $a_{n}=a_{n-1}+1$, nếu $(a_{n -1},n)=1$;$a_{n}=2n$, nếu $(a_{n-1},n) > 1$. Chứng minh rằng dãy $\{ a_n-a_{n-1} \}$ chứa vô hạn số nguyên tố.

3. $a$,$b$$c$ là các số phức thoả mãn với mỗi số phức $z$, nếu $|z| \le 1$, thì $|az^2+bz+c| \le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $|bc|$.

4. $m$$n$ là các số nguyên cho trước lớn hơn $1$. ${a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m}$ là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của $\mathbb Z$ ký hiệu bởi $T$, sao cho $|T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1}$ và với mỗi $i \in \{ 1,2,...,m \}$, tồn tại $t\in T$$s\in [-n,n]$ thoả mãn $a_{i}=t+s$.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm $A_1, A_2, \cdots ,A_n$ và điểm $O$. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất $3$ tấm thẻ tại điểm $A_i$ ($1 \le i \le n$), thì lấy $3$ tấm thẻ từ $A_i$ và đặt chúng vào các điểm $A_{i-1}$, $A_{i+1}$$O$, tương ứng. $(A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)$

(2) Nếu có ít nhất $n$ tấm thể tại $O$, thì lấy $n$ tấm thẻ từ điểm $O$ và đặt chúng vào các điểm $A_1, A_2, \cdots ,A_n$, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn $n^2+3n+1$ tấm thể trên toàn bộ $n+1$ điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn $n+1$ tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương $n$,

$(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.$

Chứng minh rằng có số nguyên dương $k$ sao cho $b_i =k{a_i}$ với $i=1,2,3$.