Harmonic division (1)


Problem 1. Let \triangle ABC be a triangle. The incircle of triangle \triangle ABC touches side BC at A'. Let segment AA' meet the incircle again at P. Segments BP,CP meet the incircle at M,N, respectively. Show that lines AA',BN,CM are concurrent.

Problem 2. Given acute triangle ABC with AB>AC, let M be the midpoint of BC. P is a point in triangle AMC such that \angle MAB=\angle PAC. Let O,O_1,O_2 be the circumcenters of \triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP respectively. Prove that line AO passes through the midpoint of O_1 O_2.

Problem 3. Let ABCD be a cyclic kite (i.e. BD is a perpendicular chord onto the diameter AC) and M the midpoint of AD. The perpendicular from C onto BM intersects AD at P. Prove that BP is tangent to the circle \odot (ABC).

Problem 4. In triangle ABC, let I be the incenter and let I_a be the excenter opposite A. Suppose that II_a meets BC and the circumcircle of triangle ABC at A_0 and M, respectively. Let N be the midpoint of arc MBA of the circumcircle of triangle ABC. Let lines NI and NI_a intersect the circumcircle of triangle ABC again at S and T, respectively. Prove that S, T, and A_0 are collinear. Continue reading “Harmonic division (1)”

Một số kết quả trong Hình học phẳng


Tài liệu có một số kết quả hay dùng trong Hình học giải tích phẳng.

Continue reading “Một số kết quả trong Hình học phẳng”

China National Olympiad 2010


1. Các đường tròn \Gamma_1\Gamma_2 cắt nhau tại hai điểm AB. Một đường thẳng qua B cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm C and D tương ứng. Đường thẳng qua B khác cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm E and F tương ứng. Đường thẳng CF cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm P and Q tương ứng. Cho MN là trung điểm của các cung nhỏ \widehat{PB}\widehat{QB}. Chứng minh rằng nếu CD=EF, thì C, F, M, N đồng viên.

2. Cho k \ge 3 là một số nguyên. Dãy \{ a_n \} được xác định như sau: a_{k}=2k, và với mỗi n > k, a_{n}=a_{n-1}+1, nếu (a_{n -1},n)=1;a_{n}=2n, nếu (a_{n-1},n) > 1. Chứng minh rằng dãy \{ a_n-a_{n-1} \} chứa vô hạn số nguyên tố.

3. a,bc là các số phức thoả mãn với mỗi số phức z, nếu |z| \le 1, thì |az^2+bz+c| \le 1. Tìm giá trị lớn nhất của |bc|.

4. mn là các số nguyên cho trước lớn hơn 1. {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m} là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của \mathbb Z ký hiệu bởi T, sao cho |T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1} và với mỗi i \in \{ 1,2,...,m \}, tồn tại t\in Ts\in [-n,n] thoả mãn a_{i}=t+s.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n và điểm O. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất 3 tấm thẻ tại điểm A_i (1 \le i \le n), thì lấy 3 tấm thẻ từ A_i và đặt chúng vào các điểm A_{i-1}, A_{i+1}O, tương ứng. (A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)

(2) Nếu có ít nhất n tấm thể tại O, thì lấy n tấm thẻ từ điểm O và đặt chúng vào các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn n^2+3n+1 tấm thể trên toàn bộ n+1 điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn n+1 tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương n,

(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.

Chứng minh rằng có số nguyên dương k sao cho b_i =k{a_i} với i=1,2,3.