Mở đầu về đa thức


Trong bài này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

1. Hệ số và bậc

Định nghĩa 1. Một tổng hình thức a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, ở đây n\in\mathbb{N}, a_i\in \mathbb{K}\,\forall i được gọi là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}.

Như vậy mỗi phần tử của \mathbb{K} là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}, chúng được gọi là các đa thức hằng. Số 0\in\mathbb{K} ứng với đa thức không và cũng được ký hiệu bởi 0.

Tập các đa thức với hệ số trong \mathbb{K} được ký hiệu là \mathbb{K}[x].

Định nghĩa 2. Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f(x), a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f(x) được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f(x), ký hiệu \deg f(x)=n.

Quy ước. Bậc của đa thức 0 bằng -\infty.

Định nghĩa 3. Hai đa thức f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, ký hiệu f(x)=g(x) hay f(x)\equiv g(x), nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f(x)=\deg g(x) và các hệ số tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau

a) 3x^4-3x^2+1;

b) 6x^2.

Ví dụ 2. Tìm

a) Một đa thức monic có bậc 12;

b) Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic;

c) Một đa thức có bậc 0.

2. Các phép toán

Định nghĩa 4. Xét hai đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0, ở đây a_i,b_j là các phần tử của \mathbb{K}a_n,b_m không cần phải khác 0 (sau này nếu không quan tâm đến bậc của đa thức thì ta cũng dùng biểu diễn này cho tiện).

Tổng của hai đa thức trên, ký hiệu f(x)+g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots

Tích của f(x)g(x), ký hiệu f(x)g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)g(x)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots

Ta dễ dàng chứng minh được các kết quả sau:

Định lí 1.

1) f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

2) f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\,\,\forall f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)+0=0+f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) Với mỗi f(x)\in\mathbb{K}[x] có duy nhất g(x)\in\mathbb{K}[x] thỏa mãn f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=0.

Đa thức g(x) sẽ được kí hiệu bởi -f(x) và được gọi là đa thức đối của đa thức f(x). Từ đây với mỗi f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] ta có thể định nghĩa hiệu của f(x)g(x), kí hiệu f(x)-g(x), bởi f(x)+(-g(x)).

Định lí 2.

1) f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Với đa thức f(x) và số nguyên dương n, đa thức f(x)f(x)\cdots f(x) (n chữ f) sẽ được ký hiệu bởi f^n(x) hoặc (f(x))^n.

2) f(x)g(x)=g(x)f(x)\,\,\forall f,g\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)1=1f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Xét hai đa thức f(x)g(x) với f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, khi đó đa thức

a_n(g(x))^n+a_{n-1}(g(x))^{n-1}+\cdots+a_1g(x)+a_0 sẽ được ký hiệu bởi f(g(x)).

Ví dụ 3. Cho hai đa thức P(x)=x^2-2x+11Q(x)=2x^2-3x+5. Tìm các đa thức P(x)+Q(x),P(x)-Q(x),P(x)Q(x),P(Q(x))Q(P(x)).

Định lí 3. Cho P(x),Q(x) là các đa thức khác hằng. Khi đó

1) \deg (P(x)+Q(x))\leq\max (\deg P(x),\deg Q(x)).

2) \deg (P(x)Q(x))=\deg P(x)+\deg Q(x).

3) \deg (P(Q(x))=\deg (Q(P(x))=\deg P\deg Q.

3. Bài tập

Bài 1.  Tìm tất cả các số thực a,b sao cho đa thức x^4+4x^3+ax^2+bx+1 là bình phương của một đa thức với hệ số thực.

Bài 2. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn P^2 là đa thức của x^2. Chứng minh rằng P hoặc P/x cũng là đa thức của x^2.

Bài 3. Cho số nguyên dương n và đa thức f(x)=\sum a_ix^i có bậc n. Lập đa thức (x-b)f(x)=\sum c_ix^i với b là số thực nào đấy. Chứng minh rằng A\leq (n+1)C, ở đây A=\max |a_i|C=\max |c_i|.

Bài 4. Cho PQ là các đa thức monic với hệ số thực thỏa mãn P(P(x))=Q(Q(x)). Chứng minh rằng P=Q.

Continue reading “Mở đầu về đa thức”

Lagrange’s interpolation polynomial


In this article, I will use Lagrange polynomial to solve some polynomial problems from Mathematical Olympiads.

Continue reading “Lagrange’s interpolation polynomial”

Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức


Chiều nay tôi đã ghi một số kết quả về nghiệm thực của đa thức ở https://nttuan.org/2015/08/19/topic-662/, như đã hứa, bây giờ tôi sẽ đăng một số ví dụ về nghiệm thực của đa thức. Các ví dụ đầu tiên là các áp dụng của những kết quả trên, phần cuối của bài là vài ví dụ về biên của nghiệm.

Continue reading “Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức”

Một bài viết về Đa thức của thầy giáo Nguyễn Tất Thu


Đây là bài giảng của thầy giáo Nguyễn Tất Thu tại GGTH 2015, các bạn có thể download ở link https://www.fshare.vn/file/GVQTLAADNV9A .