Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn (OAB), gọi là O_1, và đường tròn (OAC), gọi là O_2, cắt lại BC tại D\, ( \not=B )E\, ( \not= C ) tương ứng. Trung trực của BC cắt AC tại F. Chứng minh rằng tâm của (ADE) nằm trên AC khi và chỉ khi các tâm của O_1, O_2F thẳng hàng.

Bài 2. Cho số nguyên dương n(a_0, a_1, \cdots , a_n) là một bộ các số nguyên. Với k=0, 1, \cdots , n, gọi b_k  là số các k trong (a_0, a_1, \cdots ,a_n). Với k = 0,1, \cdots , n, gọi c_k là số các k trong (b_0, b_1, \cdots ,b_n). Tìm tất cả (a_0, a_1, \cdots ,a_n) sao cho a_0 = c_0, a_1=c_1, \cdots, a_n=c_n.

Bài 3. Cho dãy số (c_n) xác định bởi c_n=2017^n,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Xét các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325),\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*.

2) 0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Chứng minh rằng tồn tại dãy số a_1, a_2, \cdots sao cho với mọi n, k thỏa mãn a_k<n, ta có f(n)^{c_k} < f(c_k)^n.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho n>1 số a_1, a_2, \cdots ,a_n thỏa mãn a_1 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

\displaystyle a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1},\quad (k=2,3, \cdots n).

(a) Chứng minh rằng a_1, a_2, \cdots a_n là các số nguyên.

(b) Chứng minh rằng có đúng một số trong a_1, a_2, \cdots a_n không chia hết cho 2n-1 và đúng một số trong đó không chia hết cho 2n+1 nếu và chỉ nếu 2n-12n+1 là các số nguyên tố. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017”

Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4. Continue reading “Final Korean Mathematical Olympiad 2016”