Functional Equations – 7/2016


Bài 1. Xác định tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho đa thức (x+1)P(x-1)-(x-1)P(x) là đa thức hằng.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

(a) f(x) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R};

(b) Với a, b, c, d \in \mathbb{R} có tính chất ab + bc + cd = 0 , ta có f(a-b) + f(c-d) = f(a) + f(b+c) + f(d).

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y))\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} sao cho f(0) \in \mathbb Qf(x+f(y)^2 ) = {f(x+y)}^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}. Continue reading “Functional Equations – 7/2016”

China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (3)”

Toàn ánh


Bài 1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả các toàn ánh f:(0,+\infty) \to (0,+\infty) sao cho 2x f(f(x)) = f(x)(x+f(f(x))) với mỗi x>0.
Bài 3. Cho hàm số f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{Z} xác định bởi f(x)=[x{\cdot }\{ x\}]\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
1) Chứng minh f là toàn ánh;
2) Tìm nghiệm của phương trình [ x[x] ]=[x{\cdot }\{ x\}].
Bài 4. Tìm tất cả các toàn ánh f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi số nguyên dương ab, đúng một trong hai đẳng thức sau là đúng
f(a)=f(b),\,\, f(a+b)=\min\{f(a),f(b)\}. Continue reading “Toàn ánh”