Đáp án các đề thi vào 10, môn Toán, KHTN HN, 1989-2005


Mấy hôm trước tôi có đăng đề thi vào lớp 10, KHTN từ năm 1989 đến 2005. Đây là đáp án của các đề đó.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2000-2001


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. Cho biểu thức

A=\dfrac{y^2-3y\sqrt{x}+2x}{y\sqrt{x}-x}.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=7-4\sqrt{3}y=\sqrt{20-8\sqrt{6}}+\sqrt{11-4\sqrt{6}}.

Bài 2. a)Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 60 km, cả đi và về mất 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 5 km/h.

b)Cho phương trình bậc hai x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0,

ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 3. Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4.\end{cases}

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính BC, A là một điểm trên đường tròn khác B,C. Qua A,C kẻ các tiếp tuyến với (O), hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Hạ AH vuông góc với BC. Đường thẳng BM cắt AH tại N và cắt (O) tại điểm thứ hai K\not =B.

a)Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc HAM;

b)Chứng minh rằng AB^2=BN\cdot BK;

c)Đường thẳng qua O và song song với BM cắt AC tại T. Chứng minh rằng bốn điểm O,T,K,A cùng nằm trên một đường tròn.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán, khối phổ thông chuyên Ngữ, DHQG HN


Đây là vài đề thi tuyển sinh vào 10, môn Toán, chuyên Ngữ.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1(d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác BC. Kẻ MI vuông góc với ABMH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IHAC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.