Turkey Team Selection Test 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, điểm P được lấy trên đường cao qua A. Các đường thẳng BPCP cắt các cạnh ACAB tại DE tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC tiếp xúc với nó tại KL tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác ABC.) Đường thẳng KD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC lần thứ hai tại M, đường thẳng LE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ALB lần thứ hai tại N. Chứng minh rằng

\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 2. Trong một lớp có 23 học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \le 3. Chứng minh rằng (a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).

Ngày thứ hai

Bài 4. Dãy các số thực a_0, a_1, \dots thỏa mãn

\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0

với mỗi số nguyên dương đủ lớn m. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P để a_n=P(n) với mỗi n\ge 0.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* sao cho với mỗi m,n \in \mathbb{N}^* ta có f(mn)=f(m)f(n)m+n \mid f(m)+f(n).

Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A với D là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua D cắt AB tại K, AC tại L. Lấy E trên cạnh BC khác D, P trên AE sao cho \angle KPL=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle KALE nằm giữa AP. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE cắt PK lần thứ hai tại X, PL lần thứ hai tại Y. DX cắt AB tại M, DY cắt AC tại N. Chứng minh rằng bốn điểm P,M,AN cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”

Bài tập về Hệ số nhị thức


Download

Lớp trưởng lấy về và chụp cho các bạn mỗi người một bản. Hưng không phải đi chụp nữa, việc này để Tuấn làm, em chỉ cần cho bạn Tuấn mượn bản in là đủ. Tuấn nên lập một quỹ dành cho việc chụp tài liệu, có nhiều môn cần phải chụp tài liệu chứ không riêng môn Toán. Lần sau những việc như thế này lớp trưởng phải chủ động nghĩ và làm, thầy không nói nhiều nữa.