USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ. Continue reading “USAMO 2016”

Bài số 5 trong CMO 2010


Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho P,Q là các đa thức với hệ số nguyên và (a_n) là dãy xác định bởi a_n=n!+n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng nếu P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1 thì P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z} với mỗi số nguyên n không là nghiệm của Q.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.