Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho sinh viên


Đề hay hơn hồi mình thi nhiều quá. Continue reading “Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho sinh viên”

22/02-Dãy số


Bài 1. Cho tập F gồm tất cả các hàm f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0. Tìm a lớn nhất để f(x)\geq ax\,\,\forall f\in F\,\,\forall x>0.
Bài 2. Với mỗi cặp số thực (a;b) xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=x_n+b\sin x_n\,\,\forall n\geq 0.
1/. Khi b=1. Chứng minh rằng với mỗi số thực a, dãy trên hội tụ. Tính giới hạn của nó;
2/. Chứng minh rằng với mỗi b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy (x_n) tương ứng không có giới hạn hữu hạn.
Bài 3. Cho số thực dương c. Dãy số (x_n) xác định bởi x_0\in (0;c)x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}\,\,\forall n\geq 0.
Tìm tất cả c để với mọi x_0 ta có dãy trên và đồng thời nó hội tụ.
Bài 4. Cho a\in (0;1). Xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=\dfrac{4}{\pi^2}\left(\arccos x_n+\dfrac{\pi}{2}\right)\arcsin x_n\,\,\forall n\geq 0. Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Tìm giới hạn của nó. Continue reading “22/02-Dãy số”

Giới hạn siêu việt


Trong bài này ta sẽ quan tâm đến các giới hạn của các hàm số có sự tham gia của hàm mũ và loga. Các giới hạn này thường được tính bằng cách biến đổi khéo léo để rồi dùng các giới hạn đã biết sau đây

\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1;\,\,\,\,\,\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+x)}{x}=1.

Bài 1. Tính các giới hạn

L_1=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\sin 2x}-e^{\sin x}}{\sin x};

L_2=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-2x^2}-\sqrt[3]{1+x^2}}{\ln (1+x^2)};

L_3=\lim_{x\to 2}\dfrac{2^x+2^{3-x}-6}{\sqrt{2^{-x}}-2^{1-x}}.

Bài 2. Tính các giới hạn

L_4=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3^{x+1}+4^{x+1}}{3^x+4^x};

L_5=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x\sin x}{x^2+1}.

Bài 3. Tính các giới hạn

L_6=\lim_{x\to 0^+}(1+3x)^{1/x};\,\,\, L_7=\lim_{x\to 0^+}(1-3x)^{\dfrac{1-x}{x}}.

Bài 4. Tính các giới hạn

L_8=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\tan 2x}-e^{\tan x}}{x};

L_9=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (\cos 2x)}{\ln (\cos 3x)}.

Bài 5. Tính giới hạn

L_{10}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x^2}\cos 4x-1}{x^2}.

Bài 6. Tính giới hạn

L_{11}=\lim_{x\to 0}\dfrac{3^x-2^x}{7^x-5^x}.

Bài 7. Tính các giới hạn

L_{12}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1}{\sin x}};

L_{13}=\lim_{x\to +\infty}\left(\sin\dfrac{1}{x}+\cos\dfrac{1}{x}\right)^x.

Bài 8. Tính các giới hạn

L_{14}=\lim_{x\to 0}(1+x^2)^{\cot^2x};

L_{15}=\lim_{x\to 0}\left(2e^{\dfrac{x}{x^2+1}}-1\right)^{\dfrac{x^2+1}{x}}.