Hai đường tròn tiếp xúc(Bài Kid hỏi)


Một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC cắt AB, AC tại P,Q tương ứng . Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AB, AC tại P,Q tương ứng cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn: Gọi J là tâm của đường tròn đó. Từ tam giác vuông APJ tính được JP(là bán kính của (J)) và AJ, bằng định lý cosin trong tam giác AOJ sẽ tính được OJ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC). Gìơ chứng minh OJ=R-IP là xong!(R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Solution of problem 11306 in AMM


Let a,b, and c be the lengths of the sides of a nondegenerate triangle, let p=(a+b+c)/2, and let r and R be the inradius and circumradius of the triangle, respectively. Show that \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{4r-R}{R}\leq\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq \dfrac{a}{2},

and determine the cases of equality.

My solution.

Continue reading “Solution of problem 11306 in AMM”