## What is GTM 106?

Đó là cuốn sách ”SỐ HỌC CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC” của Silverman. Mình lập ra mục này để trao đổi khi đọc cuốn đó.

The theory of elliptic curves is distinguished by its long history and by the diversity of the methods that have been used in its study. This book treats the arithmetic theory of elliptic curves in its modern formulation, through the use of basic algebraic number theory and algebraic geometry. The book begins with a brief discussion of the necessary algebro-geometric results, and proceeds with an exposition of the geometry of elliptic curves, the formal group of an elliptic curve, elliptic curves over finite fields, the complex numbers, local fields, and global fields. The last two chapters deal with integral and rational points, including Siegel’s theorem and explicit computations for the curve Y^2 = X^3 + DX. The book contains three appendices: Elliptic Curves in Characteristics 2 and 3, Group Cohomology, and a third appendix giving an overview of more advanced topics.

P.S. Cuốn này có bản điện tử trên gigapedia rồi, nhưng nếu các bạn không tìm được thì comment vào đây, mình sẽ gửi cho.

## Hai đường tròn tiếp xúc(Bài Kid hỏi)

Một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC cắt AB, AC tại P,Q tương ứng . Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AB, AC tại P,Q tương ứng cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn: Gọi J là tâm của đường tròn đó. Từ tam giác vuông APJ tính được JP(là bán kính của (J)) và AJ, bằng định lý cosin trong tam giác AOJ sẽ tính được OJ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC). Gìơ chứng minh OJ=R-IP là xong!(R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

## Solution of Problem 2, Grade 9, RNO 2007

Let $ABC$ be an acute angled triangle and point $M$ chosen differently from $A,B,C$. Prove that $M$ is the orthocenter of triangle $ABC$ if and only if

$\dfrac{BC}{MA}\cdot\overrightarrow{MA}+\dfrac{CA}{MB}\cdot\overrightarrow{MB}+\dfrac{AB}{MC}\cdot\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{0}.(*)$

Solution of my students.

## Solution of problem 11306 in AMM

Let $a,b,$ and $c$ be the lengths of the sides of a nondegenerate triangle, let $p=(a+b+c)/2$, and let $r$ and $R$ be the inradius and circumradius of the triangle, respectively. Show that $\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{4r-R}{R}\leq\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq \dfrac{a}{2},$

and determine the cases of equality.

My solution.