IMO Shortlist 2015 – Geometry


Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!

G1. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Gọi G là điểm sao cho ABGH là một hình bình hành. Gọi I là điểm trên đường thẳng GH sao cho AC chia đôi HI. Giả sử đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GCI tại CJ. Chứng minh IJ = AH.

G2. Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Một đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn BC tại DE sao cho B, D, E, và C khác nhau và nằm trên BC theo thứ tự này. Cho FG là giao điểm của \Gamma\Omega sao cho A, F, B, C, và G nằm trên \Omega theo thứ tự này. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn CA. Giả sử FKGL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X thuộc AO.

G3. Cho tam giác ABC với \angle{C} = 90^{\circ}, và H là chân đường cao qua C. Chọn điểm D bên trong tam giác CBH sao cho CH chia đôi AD. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BDCH. Gọi \omega là nửa đường tròn đường kính BD cắt đoạn CB tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua P tiếp xúc với \omega tại Q. Chứng minh CQAD cắt nhau trên \omega.

G4. Cho tam giác nhọn ABCM là trung điểm của AC. Một đường tròn \omega qua BM cắt các cạnh ABBC lần lượt tại PQ. Gọi T là điểm sao cho BPTQ là một hình bình hành. Giả sử rằng T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \dfrac{BT}{BM}.

G5. Cho tam giác ABC với CA \neq CB. Gọi D, F, và G lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC. Một đường tròn \Gamma qua C và tiếp xúc với AB tại D cắt đoạn AF và đoạn BG lần lượt tại HI. Các điểm H'I' đối xứng với HI qua FG, tương ứng. Đường thẳng H'I' cắt CDFG lần lượt tại QM. Đường thẳng CM cắt \Gamma lần hai tại P. Chứng minh CQ = QP.

G6. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, và F là chân đường cao qua A của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm trên \Gamma sao cho \angle HQA = 90^{\circ}K là điểm trên \Gamma sao cho \angle HKQ = 90^{\circ}. Giả sử rằng A, B, C, KQ khác nhau và nằm trên \Gamma theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác FKM. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Geometry”

Một số kết quả trong Hình học phẳng


Tài liệu có một số kết quả hay dùng trong Hình học giải tích phẳng.

Continue reading “Một số kết quả trong Hình học phẳng”

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán


Chúc các em học sinh thi tốt. Continue reading “Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán”

Balkan MO 2016


Bài 1. Tìm tất cả các đơn ánh f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R sao cho với mọi số thực x và mọi số nguyên dương n ta có

\displaystyle\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB<CD. Các đường chéo cắt nhau tại F và các đường thẳng ADBC cắt nhau tại E. Gọi KL là hình chiếu vuông góc của F trên ADBC tương ứng, và M, S, T là trung điểm của EF, CF, DF tương ứng. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKT và đường tròn ngoại tiếp tam giác MLS nằm trên CD.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức monic f với hệ số nguyên sao cho tồn tại số nguyên dương N để p chia hết 2(f(p)!)+1 với mọi số nguyên tố p>N thỏa mãn f(p) là số nguyên dương. Continue reading “Balkan MO 2016”

Turkey Team Selection Test 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, điểm P được lấy trên đường cao qua A. Các đường thẳng BPCP cắt các cạnh ACAB tại DE tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC tiếp xúc với nó tại KL tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác ABC.) Đường thẳng KD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC lần thứ hai tại M, đường thẳng LE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ALB lần thứ hai tại N. Chứng minh rằng

\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 2. Trong một lớp có 23 học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \le 3. Chứng minh rằng (a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).

Ngày thứ hai

Bài 4. Dãy các số thực a_0, a_1, \dots thỏa mãn

\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0

với mỗi số nguyên dương đủ lớn m. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P để a_n=P(n) với mỗi n\ge 0.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* sao cho với mỗi m,n \in \mathbb{N}^* ta có f(mn)=f(m)f(n)m+n \mid f(m)+f(n).

Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A với D là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua D cắt AB tại K, AC tại L. Lấy E trên cạnh BC khác D, P trên AE sao cho \angle KPL=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle KALE nằm giữa AP. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE cắt PK lần thứ hai tại X, PL lần thứ hai tại Y. DX cắt AB tại M, DY cắt AC tại N. Chứng minh rằng bốn điểm P,M,AN cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”

USAJMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC cân tại A nội tiếp đường tròn \omega. Gọi P là một điểm di động trên cung \stackrel{\frown}{BC} không chứa A, I_BI_C là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \triangle ABP\triangle ACP tương ứng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của \triangle PI_BI_C đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n < 10^6 sao cho 5^n6 chữ số 0 liên tiếp trong biểu diễn thập phân của nó.

Bài 3. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|. Continue reading “USAJMO 2016”

USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ. Continue reading “USAMO 2016”

China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”

Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4. Continue reading “Final Korean Mathematical Olympiad 2016”