T-Math 5


Bài 1. Cho tam giác ABCD là một điểm nằm trên cạnh BC (D\not=B,D\not=C). Đường tròn (ABD) cắt đoạn AC lần hai tại E. Đường tròn (ACD) cắt đoạn AB lần hai tại F. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua BC. Giả sử P=DE\cap A'CQ=DF\cap A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng AD,BPCQ đồng quy hoặc đôi một song song.
Bài 2. Cho các số nguyên dương mn (n\geq m). Xác định số domino lớn nhất có thể đặt vào bảng m\times 2n sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
i) Mỗi domino phủ đúng 2 ô vuông con kề nhau;
ii) Hai domino bất kỳ không chờm lên nhau;
iii) Không có 2 domino nào tạo thành một hình vuông 2\times 2;
iv) Dòng trên cùng của bảng được phủ hoàn toàn bởi n domino. Continue reading “T-Math 5”

23/02-Hình học


Bài 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với \angle BCA = 90^\circ. Cho P là điểm trên tia AG sao cho \angle CPA = \angle CAB, và Q là điểm trên tia BG sao cho \angle CQB = \angle ABC. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQGBPG cắt nhau tại một điểm trên AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC, và cho D, A, B, E là các điểm nằm trên đường thẳng AB theo thứ tự đó sao cho AC=ADBE=BC. Cho \omega_1, \omega_2 là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle ABC\triangle CDE, tương ứng, hai đường tròn này cắt nhau tại F \neq C. Nếu tiếp tuyến của \omega_2 tại F cắt \omega_1 tại G, và chân đường cao hạ từ G đến FCH, chứng minh \angle AGH=\angle BGH.
Bài 3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Điểm P trên cạnh AB sao cho \angle BOP = \angle ABC, và điểm Q trên cạnh AC sao cho \angle COQ = \angle ACB. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BC qua PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
Bài 4. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn \omega, các đường chéo cắt nhau tại F. Các đường thẳng ABCD cắt nhau tại E. Đoạn EF giao \omega tại X. Các đường thẳng BXCD cắt nhau tại M, các đường thẳng CXAB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MNBC đồng quy với tiếp tuyến của \omega tại X. Continue reading “23/02-Hình học”

Luyện tập Hình học-17/02/2016


Bài 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn \omega. Một đường tròn với dây BC cắt các đoạn ABAC tại các điểm thứ hai SR, tương ứng. Các đoạn BRCS cắt nhau tại L, và các tia LRLS cắt \omega tại DE, tương ứng. Phân giác trong của \angle BDE cắt ER tại K. Chứng minh rằng nếu BE = BR thì \angle ELK = \tfrac{1}{2} \angle BCD.
Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh ABAC tại DE tương ứng, và O tâm của (BCI). Chứng minh \angle ODB = \angle OEC.
Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, và D,E,F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC, AC, AB tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle AEF, \triangle BFD, và \triangle CDE cắt \Gamma tại các điểm thứ hai X,Y,Z tương ứng. Chứng minh các đường thẳng qua A,B,C vuông góc với AX,BY,CZ tương ứng đồng quy. Continue reading “Luyện tập Hình học-17/02/2016”

T-Math 3


Đề trước có ở https://nttuan.org/2015/12/10/topic-723/

Bài 1. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.

Tính số bộ tốt.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với BC tại A'. Đoạn AA' cắt lại đường tròn nội tiếp tam giác tại P. Các đoạn BP,CP cắt lại đường tròn nội tiếp tại M,N tương ứng. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA',BN,CM đồng quy.
Bài 3. Cho các số nguyên dương a,b,cd. Trên mặt phẳng xét a+b+c+d điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng l_1, l_2 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) l_1l_2 không song song;
(2) l_1, l_2 không đi qua điểm nào trong a+b+c+d điểm đã cho;
(3) Có a, b, c, d điểm trên mỗi miền chia bởi l_1, l_2 .

Continue reading “T-Math 3”