22/02-Dãy số


Bài 1. Cho tập F gồm tất cả các hàm f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0. Tìm a lớn nhất để f(x)\geq ax\,\,\forall f\in F\,\,\forall x>0.
Bài 2. Với mỗi cặp số thực (a;b) xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=x_n+b\sin x_n\,\,\forall n\geq 0.
1/. Khi b=1. Chứng minh rằng với mỗi số thực a, dãy trên hội tụ. Tính giới hạn của nó;
2/. Chứng minh rằng với mỗi b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy (x_n) tương ứng không có giới hạn hữu hạn.
Bài 3. Cho số thực dương c. Dãy số (x_n) xác định bởi x_0\in (0;c)x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}\,\,\forall n\geq 0.
Tìm tất cả c để với mọi x_0 ta có dãy trên và đồng thời nó hội tụ.
Bài 4. Cho a\in (0;1). Xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=\dfrac{4}{\pi^2}\left(\arccos x_n+\dfrac{\pi}{2}\right)\arcsin x_n\,\,\forall n\geq 0. Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Tìm giới hạn của nó. Continue reading “22/02-Dãy số”