22/02-Dãy số


Bài 1. Cho tập F gồm tất cả các hàm f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0. Tìm a lớn nhất để f(x)\geq ax\,\,\forall f\in F\,\,\forall x>0.
Bài 2. Với mỗi cặp số thực (a;b) xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=x_n+b\sin x_n\,\,\forall n\geq 0.
1/. Khi b=1. Chứng minh rằng với mỗi số thực a, dãy trên hội tụ. Tính giới hạn của nó;
2/. Chứng minh rằng với mỗi b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy (x_n) tương ứng không có giới hạn hữu hạn.
Bài 3. Cho số thực dương c. Dãy số (x_n) xác định bởi x_0\in (0;c)x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}\,\,\forall n\geq 0.
Tìm tất cả c để với mọi x_0 ta có dãy trên và đồng thời nó hội tụ.
Bài 4. Cho a\in (0;1). Xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=\dfrac{4}{\pi^2}\left(\arccos x_n+\dfrac{\pi}{2}\right)\arcsin x_n\,\,\forall n\geq 0. Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Tìm giới hạn của nó. Continue reading “22/02-Dãy số”

Dãy các phương trình


Bài 1. Xét phương trình x^{2n+1}=x+1, ở đây n>0 là số nguyên.
1/. Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình trên có duy nhất một nghiệm thực;
Kí hiệu nó là x_n.
2/. Tính \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n.
Bài 2. Xét phương trình
\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{4x-1}+\cdots+\dfrac{1}{n^2x-1}=\dfrac{1}{2},
Trong đó n là số nguyên dương.
1/. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Kí hiệu nghiệm đó là x_n.
2/. Chứng minh rằng \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=4. Continue reading “Dãy các phương trình”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2013 – 2014)


Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số y=x^3-3x+4 có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm M,N\in (C) sao cho I(-1/2;2) là trung điểm của MN;
b) Cho ba điểm phân biệt A,B,C\in (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C cắt (C) tại điểm thứ hai A',B',C' tương ứng. Chứng minh rằng nếu A,B,C thẳng hàng thì A',B',C' cũng thế. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2013 – 2014)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2011 – 2012)


Bài 1. (5 điểm)
1) Giải phương trình x^4+\sqrt{1-x^2}=1;
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^2+y^2=2xy+1\\ x^5+y^3+1=0.\end{cases}
Bài 2. (4 điểm) Cho P=x^2y+y^2z+z^2x với x,y,z >0. Chứng minh rằng
1) P\geq 3 khi xyz=1.
2) P< \dfrac{4}{27} khi x+y+z=1. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2011 – 2012)”