China National Olympiad 2010


1. Các đường tròn \Gamma_1\Gamma_2 cắt nhau tại hai điểm AB. Một đường thẳng qua B cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm C and D tương ứng. Đường thẳng qua B khác cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm E and F tương ứng. Đường thẳng CF cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm P and Q tương ứng. Cho MN là trung điểm của các cung nhỏ \widehat{PB}\widehat{QB}. Chứng minh rằng nếu CD=EF, thì C, F, M, N đồng viên.

2. Cho k \ge 3 là một số nguyên. Dãy \{ a_n \} được xác định như sau: a_{k}=2k, và với mỗi n > k, a_{n}=a_{n-1}+1, nếu (a_{n -1},n)=1;a_{n}=2n, nếu (a_{n-1},n) > 1. Chứng minh rằng dãy \{ a_n-a_{n-1} \} chứa vô hạn số nguyên tố.

3. a,bc là các số phức thoả mãn với mỗi số phức z, nếu |z| \le 1, thì |az^2+bz+c| \le 1. Tìm giá trị lớn nhất của |bc|.

4. mn là các số nguyên cho trước lớn hơn 1. {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m} là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của \mathbb Z ký hiệu bởi T, sao cho |T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1} và với mỗi i \in \{ 1,2,...,m \}, tồn tại t\in Ts\in [-n,n] thoả mãn a_{i}=t+s.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n và điểm O. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất 3 tấm thẻ tại điểm A_i (1 \le i \le n), thì lấy 3 tấm thẻ từ A_i và đặt chúng vào các điểm A_{i-1}, A_{i+1}O, tương ứng. (A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)

(2) Nếu có ít nhất n tấm thể tại O, thì lấy n tấm thẻ từ điểm O và đặt chúng vào các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn n^2+3n+1 tấm thể trên toàn bộ n+1 điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn n+1 tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương n,

(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.

Chứng minh rằng có số nguyên dương k sao cho b_i =k{a_i} với i=1,2,3.

[Bài bạn Hoàng Minh Tuấn hỏi] Dãy các số dư của dãy tuyến tính cấp hai


Bài toán. Cho dãy Fibonacci xác định bởi F_1=F_2=1F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng trong 100.000.000  số hạng đầu của dãy này có ít nhất một số hạng tận cùng là 4 chữ số 0.

Lời giải. Với mỗi số nguyên dương n, gọi r_n là số dư  của F_n khi chia cho 10^4, như thế ta có 0\leq r_n<10^4\forall n\geq 1. Xét 10^8+1 cặp (r_n,r_{n+1}),n=1,2,\cdots, 10^8+1. Trong các cặp này chắc chắn sẽ có hai cặp bằng nhau, gọi chúng là các cặp ứng với n=xn=y, với x<y. Chú ý là trong dãy r_1,r_2,\cdots cứ khi biết hai số ta sẽ biết được số sau và số trước. Như vậy cặp (1,1) chắc chắn bị lặp. Bài toán được giải.

Các bài toán sau đây được giải với cùng kỹ thuật như trên.

1. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=43,x_2=142x_{n+1}=3x_{n+1}+x_n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng (x_n,x_{n+1})=1\forall n\geq 1 và với mỗi số nguyên dương m tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho x_n-1x_{n+1}-1 chia hết cho m.

2. Let x_0, x_1, x_2, \cdots be the sequence defined by x_i = 2^i if 0 \leq i \leq 2003, x_i = \sum_{j = 1}^{2004} x_{i - j} if i \geq 2004. Find the greatest k for which the sequence contains k consecutive terms divisible by 2004.

3. Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1=20,u_2=100u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1976\forall n\geq 2. Chứng minh rằng có ít nhất một số hạng của dãy chia hết cho 1996.

4. Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=39,u_2=45u_{n+2}=u_{n+1}^2-u_n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng của dãy chia hết cho 1986.