Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số \{u_{n}\}, \{v_{n}\} xác định bởi u_{0} =u_{1} =1 ,u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} (n\geq 2)v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương N sao cho với n> N ta có u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng 3a=2b+c.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với \odot O là đường tròn ngoại tiếp và \odot I là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại B,C của \odot O cắt nhau tại L, \odot I tiếp xúc với BC tại D. AY vuông góc với BC tại Y, AO cắt BC tại X, và OI cắt \odot O tại P,Q. Chứng minh P,Q,X,Y cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi A,D,L là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật R được phân hoạch thành 2016 hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của R. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của R nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”

China National Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Xét các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31} thỏa mãn

a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015,\quad b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.

Bài 2. Cho \triangle AEF, gọi BD nằm trên các đoạn AEAF tương ứng, và cho ED cắt FB tại C. Lấy K,L,M,N trên các đoạn AB,BC,CD,DA tương ứng sao cho \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BC},.... Đường tròn nội tiếp của \triangle AEF tiếp xúc với AE,AF tại S,T tương ứng, đường tròn nội tiếp của \triangle CEF tiếp xúc với CE,CF tại U,V tương ứng. Chứng minh rằng nếu K,L,M,N cùng nằm trên một đường tròn thì S,T,U,V cũng thế.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,...,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương

1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} sao cho

P(i) \equiv a_i \pmod p\quad\forall i=1,2,\ldots,p.

2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},

\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p

ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p. Continue reading “China National Olympiad 2016”

China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (3)”

China National Olympiad 2010


1. Các đường tròn \Gamma_1\Gamma_2 cắt nhau tại hai điểm AB. Một đường thẳng qua B cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm C and D tương ứng. Đường thẳng qua B khác cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm E and F tương ứng. Đường thẳng CF cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm P and Q tương ứng. Cho MN là trung điểm của các cung nhỏ \widehat{PB}\widehat{QB}. Chứng minh rằng nếu CD=EF, thì C, F, M, N đồng viên.

2. Cho k \ge 3 là một số nguyên. Dãy \{ a_n \} được xác định như sau: a_{k}=2k, và với mỗi n > k, a_{n}=a_{n-1}+1, nếu (a_{n -1},n)=1;a_{n}=2n, nếu (a_{n-1},n) > 1. Chứng minh rằng dãy \{ a_n-a_{n-1} \} chứa vô hạn số nguyên tố.

3. a,bc là các số phức thoả mãn với mỗi số phức z, nếu |z| \le 1, thì |az^2+bz+c| \le 1. Tìm giá trị lớn nhất của |bc|.

4. mn là các số nguyên cho trước lớn hơn 1. {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m} là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của \mathbb Z ký hiệu bởi T, sao cho |T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1} và với mỗi i \in \{ 1,2,...,m \}, tồn tại t\in Ts\in [-n,n] thoả mãn a_{i}=t+s.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n và điểm O. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất 3 tấm thẻ tại điểm A_i (1 \le i \le n), thì lấy 3 tấm thẻ từ A_i và đặt chúng vào các điểm A_{i-1}, A_{i+1}O, tương ứng. (A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)

(2) Nếu có ít nhất n tấm thể tại O, thì lấy n tấm thẻ từ điểm O và đặt chúng vào các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn n^2+3n+1 tấm thể trên toàn bộ n+1 điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn n+1 tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương n,

(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.

Chứng minh rằng có số nguyên dương k sao cho b_i =k{a_i} với i=1,2,3.