IMO training 2016 (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link  https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/

—–

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi f(n) là chữ số khác 0 cuối cùng trong biểu diễn thập phân của n!. Chứng minh rằng f(625n)=f(n)\,\,\forall n>1.

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với vô hạn số nguyên dương a ta có a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên a>1 sao cho

a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

Bài 3. Cho số nguyên tố p>3. Với mỗi tập S\subset\mathbb{Z}a\in \mathbb{Z}, định nghĩa

S_{a}= \{x\in \{0,1,2,\ldots,p-1\} \mid (\exists s \in S) x\equiv a \cdot s \pmod{p} \}.

(i) Có bao nhiêu tập S\subset \{ 1,2,\ldots,p-1 \} sao cho dãy S_{1},S_{2},...,S_{p-1} chứa đúng 2 phần tử khác nhau?

(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại S\subset \{1,2,3,\ldots,p-1\} để dãy S_{1},S_{2},\ldots,S_{p-1} chứa đúng k phần tử khác nhau.

Bài 4. Cho số nguyên n\ge 2, một hàm f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\} được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên k,1\le k\le n-1 tồn tại số nguyên j sao cho với mỗi số nguyên m ta có

f(m+j)\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. Tìm số hàm tốt.

Bài 5. Cho số nguyên tố p. Chứng minh rằng

a) Nếu p>5k là số tự nhiên thỏa mãn 3<k<p thì kpA_{k-1}-2A_k chia hết cho p^4;

b) Nếu p>3 thì p^2A_{p-1}-2A_p chia hết cho p^5.

Ở đây A_i=1^i+2^i+\cdots+(p-1)^i\,\,\forall i\in\mathbb{N}. Continue reading “IMO training 2016 (2)”

VMO training 2016 – Part 1


Trong topic này và các topic sau, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán được dùng cho đợt luyện VMO vừa rồi.

Bài 1. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn n\geq p. Chứng minh rằng C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right] chia hết cho p.

Bài 2. Xét hai số nguyên dương m,n>1 thỏa mãn \gcd (m,n)=1, n lẻ, m chẵn. Chứng minh rằng tổng \displaystyle \frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\} không phụ thuộc vào mn.

Bài 3. Cho số nguyên dương n2n số thực
x_1,x_2,\cdots,x_n;\,\,\,y_1,y_2,\cdots,y_n thỏa mãn
x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n;\,\,y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n;\,\,\,\sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i. Chứng minh rằng với mỗi số thực \alpha ta có \displaystyle \sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.

Continue reading “VMO training 2016 – Part 1”