China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (3)”

China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”

Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4. Continue reading “Final Korean Mathematical Olympiad 2016”

Đề thi thử Đại học môn Toán các khối A và D, lần 3, trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, năm 2010


Đề thi thử Đại học lần 3 của THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị

Khối A

Khối D

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.

Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan


Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

ax^2+bx+c=0, với a,bc là các số thực thoả mãn a\not =0.

\clubsuit Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.

\boxed{1}. Số nghiệm của phương trình bậc hai

\clubsuit Đặt \Delta=b^2-4ac. Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi \Delta\geq 0, có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta>0 và có 0 nghiệm khi và chỉ khi \Delta<0. Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của x^2 sau đó mới tính \Delta trong trường hợp hệ số này khác 0.

Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau a,b,c phương trình

\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình

c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0 vô nghiệm với a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} một trong ba phương trình sau phải có nghiệm ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0cx^2+2ax+b=0.

Bài 1.4. Cho a,b là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng phương trình \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{x-1}=1 có nghiệm.

Bài 1.5. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn 5a+4b+6c=0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.6. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a(a+2b+4c)<0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.7. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0x^2+cx+1=0.

Bài 1.8. Cho a,b,c là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0x^2+cx+a=0.

Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực thoả mãn |a|+|b|>2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax^2+bx+1-a=0.

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} phương trình sau luôn có nghiệm a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0.

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai x^2+ax+b=0x^2+cx+d=0 có các hệ số thoả mãn ac\geq 2(b+d) thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm.

\boxed{2}. Giải phương trình bậc hai có tham số

\clubsuit Đừng có tính \Delta của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của x^2 có thể bằng 0.

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình (m-1)x^2+m^2-3m+2=0.

Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình (m-3)x^2-2mx+m-6=0.

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình \dfrac{m-1}{mx-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{m+5}{(1-mx)(x^2-1)}.

\clubsuit Phải xét m=0 trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện.

\boxed{3}. Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.

\clubsuit Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

a)Phương trình trùng phương ax^4+bx^2+c=0(a\not=0).

b)Phương trình đối xứng gương ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0(a\not=0).

c)Phương trình dạng (x+a)^4+(x+b)^4=c.

d)Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e với a+c=b+d.

e)Phương trình dạng \dfrac{mx}{ax^2+bx+d}+\dfrac{nx}{ax^2+cx+d}=p(p\not=0).

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1. Giải các phương trình

a)2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0.

b)(x+3)^4+(x+5)^4=16.

c)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24.

d)x^4-17x^2+16=0.

e)\dfrac{4x}{4x^2-8x+7}+\dfrac{3x}{4x^2-10x+7}=1.

Bài 3.2. Giải các phương trình

a)(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^2.

b)\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}.

c)\dfrac{x^2-3x+5}{x^2-4x+5}-\dfrac{x^2-5x+5}{x^2-6x+5}=-\dfrac{1}{4}.

Bài 3.3. Giải các phương trình

a)20\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2-5\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

b)\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

Bài 3.4. Giải các phương trình

a)(x+5)(2x+12)(2x+20)(x+12)=3x^2.

b)(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4.

Bài 3.5. Cho phương trình x^4+2(m-2)x^2+m^2-5m+5=0. Tìm m để phương trình có

a)4 nghiệm phân biệt.

b)3 nghiệm phân biệt.

c)2 nghiệm phân biệt.

d)1 nghiệm.

e)0 nghiệm.

Bài 3.6. Giải các phương trình

a)x\left(\dfrac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{3-x}{x+1}\right)=2.

b)x\left(\dfrac{8-x}{x-1}\right)\left(x-\dfrac{8-x}{x-1}\right)=15.

c)x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1.

Bài 3.7. Giải các phương trình

a)\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+7}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6};

b)\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}.

\boxed{4}. Định lý Viét và các áp dụng

\clubsuit Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là x_1x_2 thì ta có x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}x_1x_2=\dfrac{c}{a}.

\boxed{4.1}. Nhẩm nghiệm

\clubsuit Nếu a+b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=1,x_2=\dfrac{c}{a}. Nếu a-b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=-1,x_2=-\dfrac{c}{a}.

Continue reading “Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan”