Quan hệ vuông góc-9/3/2016


Một số bài tập ôn tập.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A ta lấy điểm S. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC.
a) Chứng minh các mặt của S.ABC là các tam giác vuông;
b) Chứng minh AE\bot (SBC),DE\bot SBDE\bot AE;
c) Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên d\,\, (S\not=A).
Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A ta lấy M\,\, (M\not=A). Gọi HO lần lượt là trực tâm của các tam giác ABCMBC, K=OH\cap d.
a) Chứng minh OH\bot (MBC);
b) Khi M di động trên d, tìm vị trí của nó để MK nhỏ nhất.
Bài 3. Trong mặt phẳng \alpha cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, M là một điểm di động trên (C) (M\not=A,B). Cho S là điểm thỏa mãn SA=2RSA\bot\alpha. Gọi AH,AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB,SAMT=HK\cap BM.
a) Chứng minh T nằm trên một đường thẳng cố định;
b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AHK.
Bài 4. Cho tam giác BCD vuông tại BCD=\alpha,\widehat{C}=\alpha. Gọi A là điểm thỏa mãn BA=aBA\bot (BCD).
a) Tính d(B;(ACD);
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tìm \alpha để (ABI) là mặt phẳng trung trực của CD;
c) Biết C,D cố định. Chứng minh AC^2+AD^2 không đổi.
Bài 5. Cho tứ diện SABCSA,SB,SC đôi một vuông góc. Đặt a=SA,b=SB,c=SC. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
1) Tính SG,SH;
2) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn và a^2\tan A=b^2\tan B=c^2\tan C;
3) Chứng minh \dfrac{9}{2}SH^2\leq S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}\leq \sqrt{3}S_{ABC}.
4) Biết b+c=a. Chứng minh \widehat{SAB}+\widehat{SAC}+\widehat{CAB}=90^{\circ}. Continue reading “Quan hệ vuông góc-9/3/2016”

Đáp án các đề thi vào 10, môn Toán, KHTN HN, 1989-2005


Mấy hôm trước tôi có đăng đề thi vào lớp 10, KHTN từ năm 1989 đến 2005. Đây là đáp án của các đề đó.

Phương pháp diện tích trong Hình học


Mấy ngày nay trên MS đang có topic thảo luận về “Phương pháp diện tích”. Đây là một bài giảng về phương pháp đó, cuối bài giảng có khá nhiều bài tập. Các anh em download về làm tài liệu phục vụ thảo luận, tôi không muốn post trực tiếp lên MS vì quá nhiều file sẽ làm nặng MS.

Đề thi thử Đại học môn Toán các khối A và D, lần 3, trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, năm 2010


Đề thi thử Đại học lần 3 của THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị

Khối A

Khối D

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=2\sqrt{3}+3\sqrt{27}-\sqrt{300};

b)B=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}, với x>0,x\not =1.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+3x-4=0;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}3x-2y=4\\2x+y=5.\end{cases}

Bài 3.

Cho hàm số y=(2m-1)x+m+1 với m là tham số và m\not =\dfrac{1}{2}. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau

a)Đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1,1);

b)Đồ thị cắt trục tung tại A, trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một canô chuyển động xuôi dòng từ A đến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước đứng yên.

Bài 5.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O;R).

a)Chứng minh rằng MAOB nội tiếp;

b)Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM=5cmR=3cm;

c)Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt (O;R) tại C,D(C nằm giữa MD). Gọi E là giao của ABOM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1(d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác BC. Kẻ MI vuông góc với ABMH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IHAC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.