Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác nhọn , điểm
được lấy trên đường cao qua
. Các đường thẳng
và
cắt các cạnh
và
tại
và
tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ
và
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với nó tại
và
tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác
.) Đường thẳng
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
lần thứ hai tại
, đường thẳng
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
lần thứ hai tại
. Chứng minh rằng
là trực tâm của tam giác
.
Bài 2. Trong một lớp có học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.
Bài 3. Cho các số thực không âm thỏa mãn
. Chứng minh rằng
Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy các số thực thỏa mãn
với mỗi số nguyên dương đủ lớn . Chứng minh rằng tồn tại đa thức
để
với mỗi
.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số sao cho với mỗi
ta có
và
.
Bài 6. Cho tam giác cân tại
với
là trung điểm của
. Một đường thẳng qua
cắt
tại
,
tại
. Lấy
trên cạnh
khác
,
trên
sao cho
và
nằm giữa
và
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt
lần thứ hai tại
,
lần thứ hai tại
.
cắt
tại
,
cắt
tại
. Chứng minh rằng bốn điểm
và
cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”