T-Math 5


Bài 1. Cho tam giác ABCD là một điểm nằm trên cạnh BC (D\not=B,D\not=C). Đường tròn (ABD) cắt đoạn AC lần hai tại E. Đường tròn (ACD) cắt đoạn AB lần hai tại F. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua BC. Giả sử P=DE\cap A'CQ=DF\cap A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng AD,BPCQ đồng quy hoặc đôi một song song.
Bài 2. Cho các số nguyên dương mn (n\geq m). Xác định số domino lớn nhất có thể đặt vào bảng m\times 2n sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
i) Mỗi domino phủ đúng 2 ô vuông con kề nhau;
ii) Hai domino bất kỳ không chờm lên nhau;
iii) Không có 2 domino nào tạo thành một hình vuông 2\times 2;
iv) Dòng trên cùng của bảng được phủ hoàn toàn bởi n domino. Continue reading “T-Math 5”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.

Thặng dư bậc k


Trong bài viết này ta đề cập một vấn đề khá cổ điển  trong Lí thuyết đồng dư ,đó là thặng dư bậc k và sẽ nghiên cứu kĩ hơn trong trường hợp k=2 ,thường được gọi là thặng dư bặc 2 hay thặng dư chính phương .

Định nghĩa : Ta nói một số a mà \gcd(a,p)=1 là thặng dư bậc k mod p khi và chỉ khi tồn tại số x sao cho x^k\equiv a (\mod p) ,ngược lại ta nói nó là phi thặng dư bậc k theo mod p .

Ta bắt đầu vấn đề bằng một định lí khá quan trọng trong phần này .

Định lí:Đặt d=\gcd(k,p-1)  Số a là thặng dư bậc k theo mod p khi và chỉ khi : a^{\frac{p-1}{d}}\equiv 1 (\mod p) hơn nữa nếu phương trình này có nghiệm nó sẽ có chính xác d nghiệm .

Chứng minh của định lí không hề khó ,nhưng ta cần đến công cụ về căn nguyên thuỷ , do tính chất bài viết xin bỏ qua công đoạn chứng minh tồn tại ,phép chứng minh có thể tìm thấy tồn tại có thể tìm thấy trong nhiều text book . Bây giờ quay lại bài toán ,ta có khẳng định đơn giản sau :

Bổ đề 1 : Nếu g là căn nguyên thuỷ mod p thì \{g,...,g^{p-1}\} lập thành một hệ thặng dư thu gọn mod p . Điều này khá hiển nhiên , giả sử ngược lại tức là tồn tại h và k sao cho g^h\equiv g^k (\mod p) ,từ đó suy ra g^{|h-k|}\equiv 1 (\mod p) , tức là p-1|h-k ,điều này vô lí do 1\leq h,k\leq p-1 .

Bổ đề này có 1 ý nghĩa đó là ,với mỗi một số a nguyên tố cùng nhau với p thì tồn tại số l sao cho a\equiv g^l (\mod p) .

Continue reading “Thặng dư bậc k”