Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán


Chúc các em học sinh thi tốt. Continue reading “Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán”

USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ. Continue reading “USAMO 2016”

China National Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Xét các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31} thỏa mãn

a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015,\quad b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.

Bài 2. Cho \triangle AEF, gọi BD nằm trên các đoạn AEAF tương ứng, và cho ED cắt FB tại C. Lấy K,L,M,N trên các đoạn AB,BC,CD,DA tương ứng sao cho \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BC},.... Đường tròn nội tiếp của \triangle AEF tiếp xúc với AE,AF tại S,T tương ứng, đường tròn nội tiếp của \triangle CEF tiếp xúc với CE,CF tại U,V tương ứng. Chứng minh rằng nếu K,L,M,N cùng nằm trên một đường tròn thì S,T,U,V cũng thế.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,...,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương

1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} sao cho

P(i) \equiv a_i \pmod p\quad\forall i=1,2,\ldots,p.

2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},

\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p

ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p. Continue reading “China National Olympiad 2016”

China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)”