T-Math 4


Bài 1. Xét ba số thực không âm a,bc thỏa mãn điều kiện a+b+c=2. Chứng minh rằng
\sqrt{a+b-2ab}+\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{c+a-2ca}\geq 2.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB>AC. Gọi M là trung điểm của BCP là một điểm nằm trong tam giác AMC sao cho \angle MAB=\angle PAC. Gọi O,O_1,O_2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC,ABP,ACP. Chứng minh rằng AO đi qua trung điểm của O_1O_2. Continue reading “T-Math 4”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức P(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}.

a)Rút gọn P(x);

b)Giải phương trình P(x)=\dfrac{4}{x-5}.

Bài 2.

Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b)Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 3.

Hai xe máy đi từ A đến B. Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai nửa giờ với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe thứ hai 5km một giờ. Biết rằng hai xe đến B cùng một lúc và quãng đường AB dài 140km. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R, lấy điểm C trên đoạn AO sao cho C khác A,O. Kẻ hai tia AxBy vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn nhưng khác AB. Một đường thẳng vuông góc với CM tại M cắt AxP, cắt ByQ; AM cắt CPEBM cắt CQF.

a)Chứng minh bốn điểm M,E,C,F nằm trên một đường tròn;

b)Chứng minh EF||AB;

c)Khi C là trung điểm của AO, tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để APQB có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị này.

Một vài chứng minh của định lý Steiner-Lehmus


Hôm trước trên các lớp C1 và T có gặp bài toán:

Kiểm tra mệnh đề sau đúng hay sai “Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì nó là tam giác cân”. Sau đó tôi có hỏi là thay hai đường cao bằng hai phân giác trong, trung tuyến,… thì sao? Chỉ có câu hỏi liên quan đến phân giác trong là khó. Câu trả lời là khẳng định, nếu một tam giác có hai phân giác trong bằng nhau thì nó là tam giác cân. Đây là nội dung của định lý Steiner-Lehmus, có khoảng 80 chứng minh cho kết quả này, nhưng không có phép chứng minh “trực tiếp”.

Trong post này tôi sẽ giới thiệu một vài chứng minh và một ít tài liệu tham khảo để các bạn quan tâm có điều kiện tìm hiểu thêm về định lý này.

Chứng minh Lượng giác

Những chứng minh này chỉ dùng định lý sin, và một chút kiến thức về các hàm lượng giác.

Hajja, Chau, Gal và Sandor

Chứng minh Hình học

Tất cả các chứng minh dưới đây các học sinh lớp 9 đều có thể hiểu được.

Yiu, Khitan, Cooke, và một cách chứng minh trong Geometry Revisited (tìm  ở mục “Sách” trên blog).

—–

Nếu có gì thắc mắc các bạn có thể post một comment ngay trong topic này. Chúc các bạn học sinh một năm học có nhiều thành công.

Phương trình và bất phương trình chứa căn-Phương pháp biến đổi tương đương


Chỉ bình phương hai vế khi chắc chắn hai vế không âm

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

a)x-\sqrt{2x+3}=0;

b)\sqrt{x-1}<x-2;

c)\sqrt{3x+1}\geq 4x-2.

Bài 2. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x};

b)\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-3}.

Bài 3. Giải các bất phương trình

a)\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2-4x+3}\geq 2\sqrt{x^2-5x+4};

b)\sqrt{x^2-8x+15}+\sqrt{x^2+2x-15}\leq\sqrt{4x^2-18x+18}.

Bài 4. Giải các bất phương trình

a)(x-3)\sqrt{x^2-4}\leq x^2-9;

b)\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}>\dfrac{1}{2x-1}.

Bài 5. Giải các phương trình

a)\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=\sqrt{5};

b)\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x.

Bài 6. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2};

b)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2};

c)x^2+\sqrt{x+1}=1.

Bài 7. Giải phương trình

\dfrac{x^2+7x+4}{x+2}=4\sqrt{x}.

Bài 8. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\dfrac{x+3}{5};

b)2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}>x-2;

c)3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}.

Bài 9. Giải bất phương trình

\sqrt{x^4-2x^2+1}>1-x.

Bài 10. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\geq 2;

Đáp số: x<0 hoặc 1\leq x\leq 2.

b)\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\leq 3\sqrt{x};

Đáp số: x\geq 1/4.

c)\dfrac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x})^2}<x+21;

Đáp số: -9/2\leq x<0,0<x<7/2.

d)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}>\dfrac{3}{2};

Đáp số: x\geq 1.

e)\sqrt{x^2+3x+2}+\sqrt{x^2+6x+5}\leq\sqrt{2x^2+9x+7};

Đáp số: x=-1,-2,-5.

f)\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5;

Đáp số: x\leq 1, 2\leq x\leq\dfrac{17+\sqrt{13}}{6}.

g)\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2;

Đáp số: x=\pm 1.

h)\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3;

Đáp số: -1/2\leq x\leq 1/2x\not =0;

i)\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2};

Đáp số: x=3.