Bulgaria MO 2016


Ngày thứ nhất
Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n sao cho \displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1) chia hết cho \displaystyle m\cdot n .
Bài 2. Trong một cuộc thi toán có \displaystyle n học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải \displaystyle 6 bài toán, mỗi bài toán có \displaystyle 3 câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là \displaystyle 0 hoặc \displaystyle 2. Tìm giá trị lớn nhất của \displaystyle n.
Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}.

Continue reading “Bulgaria MO 2016”