VMO training 2017 – Part 1


Đây là một số bài toán tôi dùng trong đợt luyện VMO 2017,  gửi các đồng nghiệp tham khảo.

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 7^a - 3^b chia hết a^4 + b^2.

Bài 2. Cho số nguyên dương k. Chứng minh rằng có vô hạn số chính phương dạng n\cdot 2^k - 7, ở đây n là số nguyên dương.

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho \dfrac {n^3+1}{mn-1} là số nguyên.

Bài 4. Cho a,b là các số nguyên dương lẻ sao cho 2ab+1 \mid a^2 + b^2 + 1. Chứng minh a=b.

Continue reading “VMO training 2017 – Part 1”