Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán


Chúc các em học sinh thi tốt. Continue reading “Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán”

Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh


Đây là đề dành cho học sinh THPT.

Đề Số học giới thiệu một chứng minh sơ cấp của một trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet. Continue reading “Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh”

T-Math 6


Bài 1. Cho xy là các số thực dương sao cho x+y^{2016}\geq 1. Chứng minh rằng x^{2016}+y> 1-\dfrac{1}{100}.
Bài 2. Cho lục giác lồi A_1B_1A_2B_2A_3B_3 nội tiếp đường tròn \Omega bán kính R. Các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 đồng quy tại X. Với mỗi i=1,2,3 gọi \omega_i là đường tròn tiếp xúc với các đoạn XA_i, XB_i và cung A_iB_i của \Omega không chứa các đỉnh khác của lục giác; gọi r_i là bán kính của \omega_i.
(a) Chứng minh R\geq r_1+r_2+r_3;
(b) Nếu R= r_1+r_2+r_3, chứng minh sáu tiếp điểm của \omega_i với các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 là đồng viên. Continue reading “T-Math 6”

Trung bình cộng – trung bình nhân (2)


Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số thực dương x ta có x+\dfrac{1}{x}\geq 2.
Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương x,y,z ta có
xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy},(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a,b,cd là các số thực dương thì
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geq 4.
Bài 4. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng \dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\geq 3\sqrt{3}.
Bài 5. Cho x là một số thực thay đổi nhưng thỏa mãn 0\leq x\leq 1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) f(x)=x^2(1-x);
b) g(x)=x(1-x)^2;
c) h(x)=x^m(1-x)^n, với mn là các số nguyên dương cho trước. Continue reading “Trung bình cộng – trung bình nhân (2)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)


Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số y=x^4-2mx^2+2m-3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình \sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9};
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh rằng \dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

Ba cạnh của tam giác


Các kết quả cơ bản
Kết quả 1. Ba số thực a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}
Kết quả 2. Nếu a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác thì \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}\begin{cases}a>|b-c|\\ b>|c-a|\\ c>|a-b|.\end{cases}
Kết quả 3. Với mỗi ba điểm A,BC ta có
1/. AB+BC\geq CA;
2/. |AB-BC|\leq CA.
Dấu “=” xảy ra ở 1/. khi và chỉ khi B nằm giữa AC, xảy ra ở 2/. khi và chỉ khi ba điểm đó thẳng hàng và B nằm ngoài đoạn AC hoặc trùng với A,C.

Continue reading “Ba cạnh của tam giác”

T-Math 2


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
a) f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
b) \forall x,y\in\mathbb{R}, nếu x<y thì f(x)\leq f(y).
Bài 2. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.
a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;
b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Continue reading “T-Math 2”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.