Bài số 5 trong CMO 2010


Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho P,Q là các đa thức với hệ số nguyên và (a_n) là dãy xác định bởi a_n=n!+n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng nếu P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1 thì P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z} với mỗi số nguyên n không là nghiệm của Q.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2009-2010


Câu 1. Giải hệ phương trình

x^4-y^4=240

x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y).
Câu 2. Cho dãy số (a_n) xác định bởi  a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\dfrac{1}{n}}\forall n\geq 2.
a. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy;
b. Chứng minh rằng dãy này là dãy giảm.
Câu 3. Cho đường tròn (O). Hai điểm B,C cố định trên đường tròn, BC không phải đường kính. Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B,CAD,AE là các đường phân giác trong và ngoài. I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam giác ABC  kẻ đường thẳng vuông góc với AI  cắt AD,AE tại M,N.
a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định;
b. Tìm A  sao cho S(AMN) lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n phương trình x^2+15y^2=4^n có ít nhất n nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng 3\times 3n là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong n  màu. Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu một cách nhận được từ cách kia bởi một phép quay quanh tâm.

Nguồn MathScope (đã chỉnh sửa).

Bài toán số 6 trong IMO 2009


Bài toán này chắc những ai quan tâm đến IMO đều biết là nó rất khó. Đây là vài cái link hay mà tôi tìm được, những ai muốn đọc có thể tham khảo.

link 1

link 2

link 3

link 4

link 5

Đây là bản pdf mà tôi đã gom lại.

Một số sách nên đọc đối với học sinh các lớp chuyên Toán


Tổ hợp

[1] Principles and Techniques in Combinatorics, by Chen Chuan-Chong and Koh Khee-Meng

[2] A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies,  by Titu Andreescu and Zuming Feng

[3] 102 Combinatorics Problems, by Titu Andreescu and Zuming Feng

Lý thuyết số

[4] Elementary Number Theory, by David M. Burton

[5] 104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team, by Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Zuming Feng

[6] Number Theory: Structures, Examples, and Problems, by Titu Andreescu and Dorin Andrica

Hình học

[7] Toán nâng cao Hình học 10,  Nguyễn Minh Hà, NXB GD

[8] Các bài toán Hình học phẳng, V.V. Prasolov

Đại số

[9] Phương trình hàm, Nguyễn Văn Mậu, NXB GD

[10] Bài toán hàm số qua các kỳ thi Olympic, Nguyễn Trọng Tuấn, NXB GD

[11] Các bài giảng về phương trình hàm, bất đẳng thức,… của Pierre Bronsztein và các đồng nghiệp

[12] Đa thức và ứng dụng, Nguyễn Văn Mậu, NXB GD

IMO 2009


Danh sách các bạn thuộc đội tuyển năm nay

1.Hà Khương Duy, lớp 12A1 Toán,Khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

2.Nguyễn Xuân Cương, lớp 12 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương.

3.Nguyễn Hoàng Hải, lớp 12A1 ,THPT chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc.

4.Phạm Đức Hùng, lớp 11 Toán,THPT NK Trần Phú,Hải Phòng.

5.Phạm Hy Hiếu, lớp 11 Toán,PT NK ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

6.Tạ Đức Thành, lớp 11 Toán,THPT CHV,Phú Thọ

Các bài toán của ngày thứ  nhất:

Bài 1. Cho n là một số nguyên dương và a_1,\cdots, a_kk>1 số nguyên đôi một khác nhau trong \{1,2,\cdots, n\} sao cho n|a_i(a_{i+1}-1) với i=1,2,\cdots, k-1. Chứng minh rằng n không chia hết a_k(a_1-1).

Bài 2. Cho ABC là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O.  Các điểm P,Q nằm trên các cạnh CA, AB tương ứng. Gọi K,L,M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BP,CQ,PQ. Chứng minh rằng nếu PQ là tiếp tuyến của đường tròn (KLM) thì OP=OQ.

Bài 3.  Gỉa sử (s_i) là dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con (s_{s_i})(s_{s_i+1}) là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy số đã cho cũng là một cấp số cộng.

Đề ngày 2 sẽ có trong comment dưới đây.