Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

T-Math 6


Bài 1. Cho xy là các số thực dương sao cho x+y^{2016}\geq 1. Chứng minh rằng x^{2016}+y> 1-\dfrac{1}{100}.
Bài 2. Cho lục giác lồi A_1B_1A_2B_2A_3B_3 nội tiếp đường tròn \Omega bán kính R. Các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 đồng quy tại X. Với mỗi i=1,2,3 gọi \omega_i là đường tròn tiếp xúc với các đoạn XA_i, XB_i và cung A_iB_i của \Omega không chứa các đỉnh khác của lục giác; gọi r_i là bán kính của \omega_i.
(a) Chứng minh R\geq r_1+r_2+r_3;
(b) Nếu R= r_1+r_2+r_3, chứng minh sáu tiếp điểm của \omega_i với các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 là đồng viên. Continue reading “T-Math 6”

T-Math 5


Bài 1. Cho tam giác ABCD là một điểm nằm trên cạnh BC (D\not=B,D\not=C). Đường tròn (ABD) cắt đoạn AC lần hai tại E. Đường tròn (ACD) cắt đoạn AB lần hai tại F. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua BC. Giả sử P=DE\cap A'CQ=DF\cap A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng AD,BPCQ đồng quy hoặc đôi một song song.
Bài 2. Cho các số nguyên dương mn (n\geq m). Xác định số domino lớn nhất có thể đặt vào bảng m\times 2n sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
i) Mỗi domino phủ đúng 2 ô vuông con kề nhau;
ii) Hai domino bất kỳ không chờm lên nhau;
iii) Không có 2 domino nào tạo thành một hình vuông 2\times 2;
iv) Dòng trên cùng của bảng được phủ hoàn toàn bởi n domino. Continue reading “T-Math 5”

T-Math 4


Bài 1. Xét ba số thực không âm a,bc thỏa mãn điều kiện a+b+c=2. Chứng minh rằng
\sqrt{a+b-2ab}+\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{c+a-2ca}\geq 2.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB>AC. Gọi M là trung điểm của BCP là một điểm nằm trong tam giác AMC sao cho \angle MAB=\angle PAC. Gọi O,O_1,O_2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC,ABP,ACP. Chứng minh rằng AO đi qua trung điểm của O_1O_2. Continue reading “T-Math 4”

T-Math 3


Đề trước có ở https://nttuan.org/2015/12/10/topic-723/

Bài 1. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.

Tính số bộ tốt.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với BC tại A'. Đoạn AA' cắt lại đường tròn nội tiếp tam giác tại P. Các đoạn BP,CP cắt lại đường tròn nội tiếp tại M,N tương ứng. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA',BN,CM đồng quy.
Bài 3. Cho các số nguyên dương a,b,cd. Trên mặt phẳng xét a+b+c+d điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng l_1, l_2 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) l_1l_2 không song song;
(2) l_1, l_2 không đi qua điểm nào trong a+b+c+d điểm đã cho;
(3) Có a, b, c, d điểm trên mỗi miền chia bởi l_1, l_2 .

Continue reading “T-Math 3”

T-Math 2


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
a) f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
b) \forall x,y\in\mathbb{R}, nếu x<y thì f(x)\leq f(y).
Bài 2. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.
a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;
b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Continue reading “T-Math 2”

T-Math 1


Bài 1. Cho dãy số (x_n)_{n\geq 1} xác định bởi
x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2. Chứng minh x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có một hoán vị (p_1,p_2,...,p_n) của \{1,2,...,n\} để \{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\} là các hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 3. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O_1,O_2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC,ABD tương ứng. Đường thẳng O_1O_2 cắt các đoạn thẳng BC,AD tại E,F tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn \Gamma tiếp xúc với các đường thẳng BC,AD tại E,F tương ứng;
b) Chứng minh \Gamma cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Continue reading “T-Math 1”