Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

VMO training 2017 – Part 2


Link Part 1: https://nttuan.org/2016/11/08/topic-831/


Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi u_1=2

u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy số \left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác 0.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có AC > BC. Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB tại điểm thứ hai E. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với DO cắt BC tại F. Chứng minh rằng H, EF thẳng hàng.  Continue reading “VMO training 2017 – Part 2”

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán


Chúc các em học sinh thi tốt. Continue reading “Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán”

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Tin


Bài I (2,0 điểm).

1) Giải phương trình (2{{x}^{2}}-6x+5){{(2x-3)}^{2}}=1.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1 \\  2{{x}^{3}}=x-y.\end{cases}

Bài II (2,5 điểm).

1) Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}=x+y.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số \sqrt{\dfrac{4n-2}{n+5}} là số hữu tỉ.

3) Cho a,b,c,d là bốn số nguyên dương thỏa mãn ab=cd. Chứng minh a+b+c+d không phải là số nguyên tố.

Bài III (1,5 điểm).

Cho x,y,z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz=(1-x)(1-y)(1-z). Chứng minh trong ba số x(1-y),\,\,y(1-z) và z(1-x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \dfrac{1}{4}.

Bài IV (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là điểm bất kì trên đoạn thẳng AO  (I khác A, I khác O). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại các điểm C và D. Gọi E là điểm trên đường tròn (O) sao cho D là điểm chính giữa của cung nhỏ AE. Gọi K là giao điểm của AE và CD.

1) Chứng minh OK đi qua trung điểm của CE.

2) Đường thẳng đi qua I và song song với CE cắt AE,\,\,BE lần lượt tại P và Q. Chứng minh tứ giác DPEQ là hình chữ nhật.

3) Tìm vị trí của điểm I trên đoạn thẳng AO để CK=AK+OK.

Bài V (1,0 điểm).

Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 3019. Chứng minh trong 2015 số đó tồn tại bốn số a,b,c,d sao cho a+b+c=d.

 

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán


Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}  và Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4} với  x>0, x\ne 4.

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x=9.

2) Rút gọn biểu thức Q.

3) Tìm giá trị của x để biểu thức \dfrac{P}{Q} đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài III (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình \begin{cases}2(x+y)+\sqrt{x+1}=4\\ (x+y)-3\sqrt{x+1}=-5.\end{cases}

2) Cho phương trình {{x}^{2}}-(m+5)x+3m+6=0 (x là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm {{x}_{1}},{{x}_{2}} là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Bài IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh CA.CB = CH.CD.

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.

4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài V (0,5 điểm). Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=\dfrac{ab}{a+b+2}.

Trường Đông Toán học 2015 – Đề kiểm tra và đáp án


Tài liệu dưới đây chứa đề kiểm tra (có đáp án) của các trường Đông năm 2015 tại Viện Toán, Hà Nội, thành phố Hồ Chí Minh, Vinh và Phú Yên. Cảm ơn các thầy cô đã tổng hợp.

Continue reading “Trường Đông Toán học 2015 – Đề kiểm tra và đáp án”

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên và Học sinh 2016


Hội Toán học Việt Nam phối hợp với Trường Đại học Quy Nhơn tổ chức kỳ thi Olympic Toán học dành cho Sinh viên và Học sinh Trung học Phổ thông chuyên nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, thúc đẩy niềm say mê toán học trong học sinh, phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Kỳ thi cũng là một cơ hội giao lưu cho các học sinh giỏi toán với các sinh viên yêu toán và các giảng viên toán tại các trường đại học, cao đẳng và học viện. Continue reading “Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên và Học sinh 2016”