Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2017-Bảng PT


Nguồn: http://www.vms.org.vn/index.php?lang=en (Hội Toán học Việt Nam).

Continue reading “Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2017-Bảng PT”

Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2017


Theo fb của thầy Nguyễn Khắc Minh.

1. Lê Quang Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá.
2. Phạm Nam Khánh, THPT chuyên Hà Nội – Amsterđam, Tp. Hà Nội.
3. Nguyễn Cảnh Hoàng, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An.
4. Phan Nhật Duy, THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
5. Hoàng Hữu Quốc Huy, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu.
6. Đỗ Văn Quyết, THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc.

(Danh sách trên được liệt kê theo thứ tự điểm từ cao xuống thấp)


Các bạn có thể xem đề chọn đội IMO 2017 ở link https://nttuan.org/2017/03/27/topic-874/

Vietnam TST 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho 44 cái lỗ trên một cái rãnh là một đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên 1 cái lỗ và đi đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và |T| \le 45. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt x_n = C_{2n}^n.

a) Chứng minh rằng nếu \dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k với k là số nguyên dương nào đó thì x_n là bội của 2017. b) Tìm tất cả số nguyên dương h > 1 để tồn tại các số nguyên dương N,T sao cho với mọi n>N thì x_n là dãy số tuần hoàn theo modulo h với chu kỳ T.

Bài 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I)(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi I_b, I_c lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm I_bE, I_cF. Giả sử (PAC) cắt AB tại R(QAB) cắt AC tại S.

a) Chứng minh rằng PR, QS, AI đồng quy.

b) DE, DF lần lượt cắt I_bI_c tại K, J. EJ cắt FK tại MPE, QF cắt (PAC),(QAB) lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng BY, CX, AM đồng quy.

Continue reading “Vietnam TST 2017”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

VMO training 2017 – Part 4


Link part 3: https://nttuan.org/2016/12/02/topic-842/


Nội dung: Số học của các hệ số nhị thức, nghịch đảo modulo và giá p-adic của các số hữu tỷ.

Bài 1. Cho p là số nguyên tố lẻ và q=\dfrac{3p-5}{2}. Đặt

\displaystyle S_q=\frac{1}{2\times 3\times 4}+\frac{1}{5\times 6\times 7}+\cdots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)}. Giả sử m,n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle \frac{1}{p}-2S_q=\frac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m-n.

Bài 2. Với mỗi số nguyên tố p>3 ta định nghĩa \displaystyle T_p=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}. Chứng minh rằng khi viết T_p dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^2.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p. Với mỗi số nguyên a, định nghĩa \displaystyle S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}. Giả sử m,n \in \mathbb{Z} thỏa mãn S_3 + S_4 - 3S_2 = \dfrac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m.

Bài 4. Cho số nguyên tố p\ge 5. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{p}{k}3^k-2^p+1 chia hết cho p^2. Continue reading “VMO training 2017 – Part 4”

Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)


VMO 2017 sẽ diễn ra vào hai ngày 5 và 6/1/2017. Trong topic này tôi sẽ post đề thi và kết quả.

Hôm nay là 3/1/2017, hai hôm nữa tôi sẽ post đề thi ở đây. 😛

ĐỀ THI

vmo-2017-day-1

vmo-2017-day-2

Continue reading “Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)”

VMO – Number theory


Trong tài liệu này tôi sẽ tổng hợp các bài toán Số học trong kì thi chọn HSG Quốc gia (VMO).

Việc chia theo môn ở đây chỉ là tương đối, có những bài toán thuộc nhiều môn khác nhau.

Continue reading “VMO – Number theory”