Turkey TST 2017 (3)


Các bạn có thể xem ngày thứ hai ở đây.

Ngày thứ ba
Bài 7. Cho số thực \displaystyle a. Tìm số hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
\displaystyle f(xy+f(y))=f(x)y+a,\quad \forall x, y\in \mathbb{R}.
Bài 8. Cho tam giác \displaystyle ABC với các phân giác trong \displaystyle BD\displaystyle CE. Gọi \displaystyle I_{c} là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle C\displaystyle F là trung điểm của \displaystyle BI_{c}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle CF^2=CE^2+DF^2 thì tam giác \displaystyle ABC là một tam giác đều. Continue reading “Turkey TST 2017 (3)”

Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

Turkey Team Selection Test 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, điểm P được lấy trên đường cao qua A. Các đường thẳng BPCP cắt các cạnh ACAB tại DE tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC tiếp xúc với nó tại KL tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác ABC.) Đường thẳng KD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC lần thứ hai tại M, đường thẳng LE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ALB lần thứ hai tại N. Chứng minh rằng

\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 2. Trong một lớp có 23 học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \le 3. Chứng minh rằng (a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).

Ngày thứ hai

Bài 4. Dãy các số thực a_0, a_1, \dots thỏa mãn

\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0

với mỗi số nguyên dương đủ lớn m. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P để a_n=P(n) với mỗi n\ge 0.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* sao cho với mỗi m,n \in \mathbb{N}^* ta có f(mn)=f(m)f(n)m+n \mid f(m)+f(n).

Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A với D là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua D cắt AB tại K, AC tại L. Lấy E trên cạnh BC khác D, P trên AE sao cho \angle KPL=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle KALE nằm giữa AP. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE cắt PK lần thứ hai tại X, PL lần thứ hai tại Y. DX cắt AB tại M, DY cắt AC tại N. Chứng minh rằng bốn điểm P,M,AN cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”

Turkey National Olympiad, Second Round – 2012


Ngày thứ nhất

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho P(n!)=|P(n)|!\,\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A với đường cao AD. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác ADC sao cho \widehat{APB}>90^{\circ}\widehat{PBD}+\widehat{PAD}=\widehat{PCB}. Giả sử CPAD cắt nhau tại Q, BPAD cắt nhau tại R. T là điểm trên đoạn ABS nằm trên tia đối của tia PA sao cho \widehat{TRB}=\widehat{DQC}\widehat{PSR}=2\widehat{PAR}. Chứng minh rằng RS=RT.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số không giảm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y)\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Continue reading “Turkey National Olympiad, Second Round – 2012”